О необходимости обучения детей делению в столбик на уроках математики

Ключевые слова:деление чисел столбиком, нахождение корня числа, метод Ньютона, школьный курс математики, устные вычисления.

Идея написания данной статьи возникла из тех соображений, что в начале XX века в школах рассказывали об извлечении арифметического квадратного корня из неотрицательного числа в столбик, а в последующем от этого отказались и стали учить только прикидывать, без точных расчетов. Вот и возник вопрос: может быть, нет необходимости учить детей делению в столбик? Может, достаточно учить только приблизительной прикидке?

Сначала расскажем про метод извлечения квадратного корня из чисел. Об этом методе пишет еще сэр Исаак Ньютон (1643–1727 гг) в своей книге «Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе» [1, c.35]. Эта книга была переведена на русский язык в 1948 году. Расскажем подробнее о данном методе (по Ньютону).

1.   Записываем число, из которого требуется извлечь корень, ставим точки над цифрами через одну, начиная с единиц (справа налево);
2.   Под первой цифрой пишем квадрат числа, меньший данной цифры (При этом найденную цифру записываем отдельно).
3.   Вычитаем из верхней цифры нижнюю и справа от результата сносим цифры до следующей точки включительно.
4.   Оставшиеся цифры корня можно последовательно найти посредством деления остатка на удвоенную величину извлеченной части корня и вычитания каждый раз из остатка квадрата последней найденной цифры и ее удесятеренного произведения на названный делитель.

Приведем пример.

Пример 1.Извлечь корень из числа 99856.

Используем метод Ньютона.

1.   Расставляем точки над цифрами данного числа справа налево через одну.
2.   Необходимо найти число, квадрат которого равен первой цифре — 9, то есть 3. Записываем цифру 3 в частном и из 9 вычитаем 3×3, то есть 9. Очевидно, в остатке будет 0.
3.   Рядом с цифрой 0 записываем цифры, предшествующие следующей точке: 98.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

4.   Смотрим, сколько раз удвоенная цифра 3 (то есть 6) содержится в цифре 9. Очевидно, что 1.
5.   Пишем в частном полученную цифру, т. е. 1.
6.   Отнимаем от 98 произведение 1×61=61. Получаем 37.
7.   После 37 сносим оставшиеся цифры — 56, получаем 3756.
8.   Не обращая внимания на последнюю цифру (то есть 6), смотрим, сколько раз удвоенное число 31 (то есть 62) содержится в числе 375. Очевидно — 6.
9.   Записываем в частном 6.
10.   Вычитаем 6×626 = 3756 из числа 3756, получаем в остатке 0.
11.   Раз получили остаток 0, значит деление закончено, ответом будет число 316.

С некоторыми вариациями этот метод довольно долгое время изучался в школах. К примеру, он встречается в учебнике по алгебре для 6–8 классов за 1966 год [2, с.201]. Здесь приводится метод, по которому можно извлечь корень из данного числа с точностью до 1.

Покажем метод так, как он описывается в вышеупомянутом учебнике на примере.

Пример 2. Вычислить корень из числа 4082.

Проведем несложные рассуждения. Это число меньше 10000, значит, его корень будет меньше 100. С другой стороны, это число больше 100, значит, его корень будет больше 10. Получаем число, большее 10 и меньшее 100. В любом таком числе 2 цифры, оно есть десятки + единицы, поэтому квадрат его должен равняться сумме:

(десятки)2 + 2× (единицы) × (десятки) + (десятки)2

Эта сумма должна быть наибольшим квадратом, меньшим, исходного числа. Так как квадрат десятков — это сотни, то квадрат десятков нужно искать в сотнях данного числа. Очевидно, в исходном числе 40 сотен. Наибольший из квадратов чисел, меньший 40 — это 36. Значит, квадрат десятков корня равен 36, тогда число десятков равно 6.

Рис. 2. Иллюстрация 1 к примеру 2.

Записываем цифру 6 справа от знака равенства (см. Рис. 2) — это десятки искомого корня. Возведя цифру 6 в квадрат, получим 36 сотен. Вычитаем 36 сотен из 40 сотен, получаем остаток 4. К нему приписываем оставшиеся цифры — 82. Получили число 482. В этом числе должна содержаться сумма:

Произведение (6 десятков) × (единицы) должно составлять десятки, поэтому удвоенное произведение десятков на единицы будем искать в десятках остатка, а десятки остатка — это 48. Удвоенные десятки корня составляют 12. Тогда, если умножим 12 на единицы корня (пока неизвестные), то должны получить число, содержащееся в 48. Разделим 48 на 12, получим 4. Проверим на правильность эту цифру. Цифра 4 будет верна, если 2(6 десятков)4 + 42 окажется не больше остатка 482.

Рис. 3. Иллюстрация 2 к примеру 2.

За вертикальной чертой к удвоенной цифре корня (к 12) приписываем справа цифру 4 и на нее же умножим полученное число (124 на 4) (см. рис. 3).

Проводя умножение, мы умножаем 4 на 4, то есть находим квадрат единиц корня, затем умножаем 12 десятков корня на единицы. В итоге получаем сумму одного и другого. Получили произведение, равное 496, что больше остатка 482, значит, цифра 4 велика и нам не подходит.

Возьмем следующую цифру, меньшую 4, то есть 3. Проведя проверку вышеописанным способом делаем вывод, что цифра 3 подходит. (Если бы она не подошла, мы должны были проверить следующую цифру — цифру 2.)

Напишем найденную цифру 3 справа от цифры десятков. Получили в ответе число 63.

Как мы видим, извлечение корня в столбик — это совсем не сложно, и современные учащиеся даже обычной средней школы смогли бы разобраться в этой теме без особого труда. Но по какой-то причине эта тема давно вычеркнута из тех тем, которые изучают школьники на уроках математики.

Хотя, надо сказать, эта тема присутствует в учебниках математики для детей, увлекающихся математикой, например, в учебнике [3]. Но ведь это все только для увлекающихся математикой детей. А в обычном школьном курсе математики, видимо, эта тема не нужна? Видимо — нет. Хотя ситуация очень спорная.

Но ведь, как минимум, калькулятор под рукой далеко не всегда, и что же делать, если нужно точно разделить числа, прикидки недостаточно?

Очевидно, что умение и находить корень числа, и делить числа столбиком очень важно.

Приведем некоторые аргументы в защиту вышесказанного утверждения. И при вычислении корня числа, и при делении чисел используется множество устных подсчетов как минимум в пределах таблицы умножения. А это в свою очередь:

1.   Способствует повторению и закреплению правил арифметики, что, как показывает практика, актуально для всех учащихся;
2.   Развивает внимание, самостоятельность, выдержку, смекалку, сообразительность и другие полезные для учащихся качества;
3.   Тренирует оперативную память детей.

Это далеко не все «плюсы». И это касается абсолютно всех тем математики.

Мы считаем, что чем больше в школьном курсе математики будет разных интересных тем, тем будет лучше.

Также не нужно забывать, что математика в целом и практически любая из ее тем в частности развивает такие способности как:

1.   Умение обобщать;
2.   Умение рассуждать и логически мыслить;
3.   Способность к анализу различных жизненных ситуаций;
4.   Навык планирования действий и многие другие способности.

Ну и, конечно, не будем забывать высказывание великого русского ученого М. В. Ломоносова: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

Вот для того, чтобы привести ум современных школьников в порядок, и нужно учить их и делению чисел в столбик, и вычислению корня числа, и всему тому, что есть или когда-то было в школьном курсе математики.

Литература:

1.  Ньютон И. Всеобщая арифметика, или Книга об арифметических синтезе и анализе.- М.: Издательство Академия Наук СССР, 1948.

2.   Барсуков А. Н. Алгебра: учебник для учащихся VI-VIII классов.- М.: Издательство «Просвещение», 1966.

3.  Звавич Л. И., Рязановский А. Р. Алгебра. 8 класс. — 5-е изд., перераб. — М.: Мнемозина, 2008.