В работе исследовано предельное состояние анизотропного клина и штампа при действии равномерного давления. Изучено влияние смещения поверхности текучести при идеальнопластической анизотропии на величину предельного давления при вдавливании жестких штампов и клинов в идеальнопластическое полупространство. Проведен сравнительный анализ влияния трансляционной анизотропии при вдавливании жестких штампов и клинов в идеальнопластическое полупространство на величину предельных усилий вдавливания.
Ключевые слова: предельное состояние, трансляционная анизотропия, штамп, клин, усилия вдавливания, предельное давление.
Обычно анизотропия идеальнопластических тел описывается путем исследования условия текучести в форме Мизеса-Хилла. В работе исследуется представление о трансляционной идеальнопластической анизотропии, предложенной Д. Д. Ивлевым с сотрудниками [2].
Предельное условие в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии для случая плоской деформации имеет вид
, (1)
где 
— компоненты напряжения, 
.
При 
имеет место анизотропия по Хиллу.
В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам и отнесем все величины, имеющие размерность напряжений к величине 
. Сохраним обозначения для компонент напряжений и постоянных 
. Условие (1) примет вид
. (2)
Преобразуем соотношение (2) и получим
, (3)
(4)
В дальнейшем положим
, 
, 
. (5)
Воспользуемся заменой
,
, (6)
.
Согласно (4) − (6) условие пластичности (3) примет вид
. (7)
Так как 
, то в дальнейшем следует ограничиться решением уравнения (7)
, (8)
где 
.
Из (8) найдем
(9)
Уравнения равновесия имеют вид
(10)
Согласно [3] из (6), (8), (9) характеристики системы уравнений (10) примут вид
, (11)
где 
.
Характеристики (11) взаимно ортогональны. Соотношения вдоль характеристик, обобщающие интегралы Генки, имеют вид
. (12)
Рассмотрим задачу о нахождении предельной нагрузки клина при действии равномерного давления 
, приложенного к правой грани. Остановимся на случае тупого клина с углом раствора 
(рис. 1). Материал клина предполагается анизотропным, однородным, жестко-пластическим.
Рис. 1. Вдавливание тупого клина в анизотропную идеальнопластическую среду
Предельное давление равно [1]
(13)
На рис. 2. представлена зависимость величины предельного давления от угла раствора 
анизотропного и изотропного клина при 
, 
, 
.
Рис. 2. Зависимость величины предельного давления от угла раствора
Таким образом, с увелеличением угла раствора величина предельного давления клина увеличивается как в изотропном, так и в анизотропном случае.
Найдем величину предельного давления тупого клина при различных 
.
При 
предельное давление тупого клина имеет вид
.
При 
предельное давление тупого клина равно
.
При 
предельное давление тупого клина примет вид
.
Рассмотрим задачу о вдавливании плоского гладкого штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство (рис. 3).
Рис. 3. Вдавливание штампа в анизотропную идеальнопластическую среду
Давление под штампом определяется по формуле [4]
(14)
Найдем величину предельного давления под штампом при различных .
При (рис. 4) предельное давление под штампом имеет вид
При (рис. 5) предельное давление под штампом имеет вид
.
При (рис. 6) предельное давление под штампом имеет вид
.
Рис. 4. Предельное давление под штампом при
Рис. 5. Предельное давление под штампом при 
.
Рис. 6. Предельное давление под штампом при 
.
Таким образом, получили, что с увеличением величины предельное давление под штампом уменьшается.
Литература:
1. Деревянных, Е. А. О предельной нагрузке клина при действии равномерного давления в случае трансляционной анизотропии / Е. А. Деревянных // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2012. − № 2 (12). — С. 66−70.
2. Ивлев, Д. Д. О соотношениях теории трансляционной идеальнопластической анизотропии / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. — 2010. — Т. 3. — № 2 (8). — С. 580−583.
3. Ивлев, Д. Д. Предельное состояние деформируемых тел и горных пород / Д. Д. Ивлев и др. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 832 с.
4. Митрофанова, Т. В. О вдавливании жесткого гладкого штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство / Т. В. Митрофанова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. –2011. — № 1 (9). — С. 168–176.
