Модель оптимизации риска инвестиционного проекта

Сложность управления рисками инвестиционного проекта объясняется воздействием различных факторов внешней и внутренней среды. Совокупность негативных факторов внешней и внутренней среды образует систему рисков инвестиционного проекта, которую представим в виде двухуровневой системы. К первому уровню относятся основные виды риска, ко второму – рискообразующие факторы. Автором была составлена двухуровневая классификация рисков инвестиционного проекта посредством выделения рискообразующих факторов и их последующей группировки в 7 основных видов рисков, данные представлены в таблице 1.

Разработку модели оптимизации риска осуществим на примере инвестиционного проекта «Организация цеха железобетонных изделий». Суть проекта предполагает организацию в ООО «НСС» производства преднапряженных железобетонных изделий на базе готовых производственных мощностей с использованием новой технологии (армирование высокопрочной проволокой и термообработка без применения острого пара). ООО «НСС» входит в состав Группы Компаний ПИК – крупнейшей вертикально-интегрированной девелоперской компании России. Вид выпускаемой продукции: многопустотные плиты перекрытия различной высоты, ширины, длины и несущей способности.

Далее осуществим постановку экономико-математической модели, направленной на оптимальное распределение денежных средств, выделяемых на восстановление стабильного состояния инвестиционного проекта в результате реализации рисковых событий. Адаптируем марковские случайные процессы для решения нашей задачи. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью марковских процессов можно описать (точно или приближенно) поведение достаточно сложных систем.

В нашем случае такой системой является инвестиционный проект (S), который может с течением времени под воздействием рисковых событий менять свое состояние, т.е. переходить из одного состояния («стабильное»), в другое («нестабильное»). Этот переход происходит заранее неизвестным случайным образом. Иными словами протекает марковский случайный процесс.

Таблица 1

Виды рисков и их рискообразующие факторы

Н.А. Орехов под марковским процессом понимает случайный процесс, протекающий в экономической системе S, если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t₀) зависит только от ее состояния в настоящем S(t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние [1].

Марковские случайные процессы бывают с дискретным состоянием, с дискретным временем, с непрерывным временем. Случайный процесс называется процессом с дискретным состоянием, если возможные состояния системы S₁, S₂, …, S_n можно перечислить одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система скачком мгновенно переходит из состояния S_i в состояние S_j. Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в точно определенные, заранее фиксированные моменты времени t₁, t₂, … В промежутки времени между этими моментами система S сохраняет свое состояние. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой, наперед неизвестный, случайный момент времени t [48]. В данном случае мы будем рассматривать процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Марковские случайные процессы с дискретными состояниями иллюстрируются с помощью графа состояний, где кружками обозначены состояния S₁, S₂, … S_n системы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние (см. рис. 1).

При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. Потоком событий является последовательность однородных событий, следующих одно за другим через случайные интервалы времени. В нашем случае, события, образующие поток – это происходящие при реализации инвестиционного проекта рисковые события. При этом вероятности переходов для любых i и j в любой момент времени равны нулю (в силу непрерывности времени).

По этой причине вместо вероятности перехода вводится величина - плотность вероятности перехода из состояния в состояние ,

Пусть система S имеет конечное число состояний S₀, S_1, …, S_n. Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями состояний P₀(t), P₁(t), … P_n(t), где P_i(t) – вероятность того, что система S в момент t находится в состоянии S_i. Для любого t .

Вероятности состояний P_i(t) находят путем решения системы дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид:

, где (1)

i=0, 1, …n.

Величина λ_ijP_i(t) называется потоком вероятности перехода из состояния S_i в состояние S_j, причем интенсивность потоков λ_ij может зависеть от времени или быть постоянной. Уравнения Колмогорова составляются по следующему правилу: в левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (j-го) состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния. При составлении уравнений удобно пользоваться графом состояний системы.

Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей Р_i (t) при . Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями. Доказывается, что если число n состояний конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют.

Обозначим (2)

При в системе устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Финальную вероятность S_i можно истолковать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Таким образом, для системы S с n состояниями получается система линейных однородных уравнений с n неизвестными P₀, P₁, … P_n, которые можно вычислить с точностью до произвольного множителя. Для нахождения точного значения P₀, P₁, … P_n к уравнениям добавляют нормировочное условие:

P₀+P₁+…+P_n =1, (3)

пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей P_i через другие и отобразить одно из уравнений.

Реализуем модель на практике. При проведении экспертной оценки рисков была составлена классификация рисков инвестиционного проекта и выделены 7 групп рисков: информационный риск- В₁, реализационный риск- В₂, производственный риск- В₃, социально-политический риск- В₄, экологический риск- В₅, риск неисполнения хозяйственных договоров- В₆, транспортный риск- В₇.

Составим граф состояний инвестиционного проекта, находящегося под воздействием этих групп рисков (см. рисунок 2), где

λ_i – частота возникновения i-го рискового события (i=1, …, 7),

μ_i – интенсивность устранения i-го рискового события ().

Согласно приведенному выше мнемоническому правилу система дифференциальных уравнений Колмогорова для состояний S₀, S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆, S₇ имеет вид:

(4)

Рассмотрим, что произойдет с системой S, описываемой дифференциальными уравнениями Колмогорова, при . Известно, что в случае сообщающихся состояний функции Р₁(t), P₂(t), …, P_n(t) стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний системы S. Финальные вероятности не зависят от времени.

Поэтому в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части уравнений (производные) принимают равными нулю. При этом система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений и примет вид:

(5)

К системе уравнений добавляется условие:

Р₀+Р₁+Р₂+Р₃+Р₄+Р₅+Р₆+Р₇=1 (6)

Для решения системы исключаем первое уравнение и выражаем все вероятности через Р₀, в результате получим систему:

(7)

Теперь подставим полученные вероятности в выражение (6) и получим:

(8)

Выразим из этого выражения Р₀:

(9)

Для расчета вероятностей пребывания инвестиционного проекта под воздействием рисков необходимо проанализировать имеющуюся в ООО «НСС» статистику по аналогичным проектам для следующих переменных: частота возникновения рисковых событий; время, необходимое для устранения последствий рисковых событий; суммы денежных средств, выделяемые на устранение последствий рисковых событий. Данные представим в таблице 2.

Таблица 2

Данные ООО «НСС» по инвестиционным рисками

Вычислим 250+400+350+100+50+200+55=1405 тыс. руб.

По формулам 6 и 7 рассчитаем вероятности Р_i.

Р₀ = 0,288; Р₁=0,08; Р₂=0,115; Р₃=0,048; Р₄=0,144; Р₅=0,084; Р₆=0,097;

Р₇=0,144.

Так как μ представляет собой интенсивность устранения рисковых событий, то она зависит от суммы денежных средств, выделенных на ликвидацию его последствий. Следовательно, запишем формулу:

μ_i = β_i*D_i (i=1,…7) (10)

где D – сумма денежных средств, выделяемая на восстановление положения после воздействия инвестиционного риска;

β_i – коэффициент пропорциональности, который определяется на основании имеющихся статистических данных.

Вычислим значение β, выразив его из формулы (10) и получим:

β₁=1/500; β₂=1/800; β₃=1/350; β₄=1/600; β₅=1/350; β₆=1/200; β₇=1/55.

На основе имеющихся и рассчитанных данных осуществим постановку оптимизационной задачи, заключающейся в определении оптимального количества денежных средств, которые необходимо инвестировать ООО «НСС» на устранение инвестиционных рисков, а также на какие группы рисков необходимо направить эти средства, для эффективного устранения последствий наступления рисковых событий, чтобы вероятность стабильной реализации инвестиционного проекта .

Выбор оптимального управленческого поведения в конкретной ситуации связан с проведением экономико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования. В нашем случае задачу можно записать следующим образом:

1. Целевая функция – математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо оптимизировать:

(11)

2. Ограничения по ресурсам:

D₁+D₂+D₃+D₄+D₅+D₆+D₇ = 1405 (12)

D_i>0

Для решения этой оптимизационной задачи используем пакет Excel, который содержит программу (надстройку) «Поиск решения». Данная программа позволяет реализовывать модели различной оптимизации. Составленная нами модель, является моделью нелинейного программирования (НЛП). В пакете Excel реализован метод множителей Лагранжа, идея которого заключается в преобразовании задачи условной оптимизации, решение которой производится методами поиска – градиентными методами или методами Ньютона. В нашем случае воспользуемся градиентным методом. Рабочий лист Excel с формулами, диалоговое окно «Поиск решения», диалоговое окно «Параметры поиска решения» представим на рис. 3-5.

Рис. 3. Рабочий лист Excel c формулами

Рис. 4. Диалоговое окно «Поиск решения»

Рис. 5. Диалоговое окно «Параметры поиска решения»

Результаты оптимального размера денежных средств, направляемых на устранение рисковых событий при максимизации вероятности нахождения в стабильном положении представлены в таблице 3.

Таблица 3

Результаты решения оптимизационной задачи

При таком распределении денежных средств достигается максимальная вероятность нахождения инвестиционного проекта в стабильном положении Р₀¹=0,333.

Имея новую максимальную вероятность и новые значения можно рассчитать новые интенсивности устранения рисковых событий и вероятности нахождения проекта в каждой из групп рисков по формулам:

(13)

(14)

Результаты вычислений: =0,448, = 0,419, = 0,579, = 0,309,

= 0,291, = 1,082, = 2,538;

0,106, 0,159, 0,096, 0,09, 0,048, 0,103,

0,066.

Таким образом, в ходе решения оптимизационной задачи была выявлена максимальная вероятность стабильной реализации проекта, равная = 0,333. Эта вероятность достигается за счет правильного распределения денежных средств между группами инвестиционных рисков. Реализация этой модели на практике позволит добиться увеличения вероятности стабильного состояния инвестиционного проекта на . Аналогично производятся расчеты по рискообразующим факторам, что еще больше снизит вероятность нахождения инвестиционного проекта под воздействием рисков.

Литература:

1. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. проф. Н.А. Орехова. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – с. 219-223.