Решение игровых задач с нулевой суммой с помощью Microsoft Excel

Рассмотрим общий случай игровой задачи m x n с нулевой суммой, когда модель задачи не имеет седловой точки. Такую модель можно представить в виде матрицы (табл.1):

Таблица 1. Общая таблица стратегий

Оптимальное решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Обозначим вероятности применения стратегий первого игрока (игрока А) через , а цену игры — через v. Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия

Пусть

Поскольку при оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше v при любой стратегии противника, то справедлива система n неравенств:

Или

(1)

Тогда задача отыскания оптимальной смешанной стратегии игрока А может быть сформулирована в виде задачи линейного программирования.

Для этого необходимо максимизировать целевую функцию F =v при ограничениях

(2)

Введем новые неизвестные:

Поскольку

Разделим левую и правую части неравенств (1) и (2) на v, получим:

(3)

В силу того что

max v = min 1/v = min{x₁+x₂+…+x_m}.

задача принимает вид

F= x₁+x₂+…+x_m → min (4)

при ограничениях

(5)

Для второго игрока (игрока В) оптимальная стратегия определяется из условия:

при условии

q₁+q₂+…+q_n = 1

Эта задача записывается как симметричная двойственная задача линейного программирования к задаче игрока A (4), (5):

L= y₁ +y₂+… +y_n → max (6)

при ограничениях

(7)

Задачи игроков A и В решают симплекс-методом.

Использование возможностей Microsoft Excel позволяет существенно облегчить и ускорить решение этой задачи.

Сначала нужно создать исходную таблицу:

Затем, на основе этой таблицы записать формулы для нахождения решения:

Для нахождения решения используется надстройка Поиск решения. Нужно выделить ячейку, в которой вычисляется значение функции F и вызвать надстройку Поиск решения. Заполнить окно поиска решения:

В поле Ограничения нужно задать формулы для всех ограничений. Затем нажать кнопку Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Чтобы найти значения вероятностей и цену игры нужно записать формулы:

Решение задачи для игрока В выполняется по аналогичной схеме согласно формулам (6), (7).

Рассмотрим пример решения задачи. Найдем решение игры, заданной матрицей .

Проверим наличие седловой точки.

В режиме отображения формул эта запись имеет вид:

Поскольку нижняя цена игры (минимальный выигрыш игрока А) и верхняя цена игры (максимальный проигрыш игрока В) не равны, то модель данной задачи не имеет седловой точки. Поэтому решение следует искать в смешанных стратегиях. Составим задачи линейного программирования для нахождения решений игроков А (согласно формулам (4), (5)) и В(согласно формулам (6), (7)):

для игрока А и для игрока В.

Для решения этих систем используем надстройку «Поиск решения». Сначала оформим задачу для поиска решения игрока А:

В режиме отображения формул:

Затем нужно активировать ячейку В7 и запустить надстройку Поиск решения. Далее заполнить окно Поиска решения:

Затем нажать кнопку Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Получим результат:

Вероятности применения смешанных стратегий и цену игры найдем по формулам: p_i=x_i/F, v=1/F.

В режиме отображения формул:

Аналогично найдем решение для игрока В:

В режиме отображения формул:

Литература:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М. «Высшая школа», 1993г.

2. Агальцов В.П., Волдайская И.В. Математические методы в программировании М. ИД «Форум» - ИНФРА-М, 2006г.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем М. «Финансы и статистика», 2003г.

4. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы М. ИД «Форум» - ИНФРА-М, 2007г.