Исследование аппроксимации Снайдера для модели оптимального размера заказа при срывах поставок



1. Введение

На сегодняшний день проблема сбоев в поставках актуальна как никогда раньше, поскольку сбои могут возникнуть абсолютно в любой цепочке поставок. Причины возникновения сбоев совершенно различны: действия рабочих, поломка машины, природные или техногенные катастрофы и др. Сбои могут приводить к последствиям разного масштаба и необходимо их все учитывать. Модель, исследуемая в данной работе, применима как к большим, так и к малым нарушениям.

Для того чтобы фирмам наилучшим образом справляться со сбоями, необходимо усовершенствовать методы управления цепочками поставок.

2. Обзор литературы

Парлар и Беркин [2] представляют первую из серии моделей, которые добавляют нарушения поставок в классические модели управления запасами. Их модель получила название EOQD, она подобна модели EOQ, в которой поставщик испытывает периодические сбои. Спрос теряется, если у ритейлера не хватает запасов для того, чтобы его удовлетворить во время сбоев поставщика. Берк и Арриола-Риза [1] показали, что стоимостная функция [2] имеет ошибки в двух предположениях, и предложили новую исправленную функцию ожидаемых затрат. Но решение для модели [1] нельзя представить в аналитической виде, поэтому Снайдер [5] вводит аппроксимацию, исследует новую полученную модель и находит решение в аналитической форме.

Парлар и Перри [3] расширяют модель EOQD, ослабляя предположение ZIO и принимая время между попытками заказа за переменную решения. Уже в следующей работе [4] они рассматривают EOQD с одним, двумя или несколькими поставщиками и ненулевыми точками повторного заказа. Томлин [6] в своем исследовании рассматривает стратегии для преодоления сбоев в поставках.

3. Описание модели

3.1. Модель EOQD

Рассмотрим исправленную модель Берка и Арриола-Ризы [1].

Даны фиксированная стоимость заказа , стоимость хранения за единицу в год и постоянная детерминированная скорость спроса единиц в год. Без потери общности предполагается, что единица времени — один год.

Предполагается, что у поставщика происходит сбой на определенный период времени, после того как он нормально работал в течение длительного периода времени. Принято обозначать периоды сбоя как сухие, а периоды обычного функционирования как влажные. Во время сухого периода получить от поставщика товары невозможно, а ритейлеры несут издержки дефицита за спрос, возникающий в этот период. Продолжительности периодов поставщика экспоненциально распределены с параметрами для влажного и для сухого. Каждый заказ предназначен для одного и того же объема , заказы размещаются тогда, когда уровень запасов у ритейлера достигает 0, при этом заказы, размещенные во влажные периоды, восполняются немедленно. Целью модели является выбор для минимизации ожидаемых годовых затрат.

Функция ожидаемой годовой стоимости такой модели:

где

вероятность того, что когда уровень запасов ритейлера достигнет 0 поставщик будет находится в сухом периоде. Часто аргумент в подавляется, когда это ясно из контекста.

Представленную модель можно оптимизировать численно с помощью методов линейного поиска, но она не может быть решена в аналитическом виде, поэтому необходимо рассматреть ее аппроксимацию.

3.2. Аппроксимационная модель EOQD

Снайдер предлагает аппроксимировать стоимостную функцию, заменив на

где r — константа, подчиняющаяся условию 0 < r < 1. Тогда приближенная функция стоимости будет

Снайдер доказал, что полученная функция стоимости выпуклая, и предоставил решение в аналитической форме для оптимального значения , которая минимизирует (4):

4. Исследование на численных данных

4.1. Генерирование данных.

Исследуем модель Снайдера, используя 1000 случайно сгенерированных наборов данных. Наборы были созданы путем случайного выбора параметров из выборок, с объемом равным 10 для каждой, полученных из следующих распределений:

−

−

−

−

−

−

Границы были выбраны таким образом, чтобы сохранялась неотрицательность параметров и выполнялось неравенство . Для каждого набора мы вычисляли , используя (5) и находили значения , которое минимизирует g₀(Q), используя функцию fmin из библиотеки scipy.optimize для языка программирования Python.

4.2. Численные результаты для эвристической ошибки.

Мы исследуем качество приближения, вычисляя относительную ошибку от использования в качестве эвристического решения () для различных r.

В таблице 1 указаны максимальные эвристические ошибки для нескольких значений r, а также доли наборов, относительная ошибка которых меньше заданного значения.

Таблица 1

Эвристическая ошибка

	r=0.5	r=0.6	r=0.7	r=0.8	r=0.9	r=1
Макс	0,765	0,679	0,608	0,549	0,497	0,453
% < 0,001	0,061	0,057	0,039	0,039	0,04	0,045
% < 0,01	0,284	0,28	0,28	0,271	0,266	0,274
% < 0,02	0,411	0,41	0,403	0,417	0,424	0,432
% < 0,05	0,613	0,627	0,631	0,64	0,642	0,65
% < 0,1	0,757	0,772	0,787	0,799	0,805	0,819

Как видно из таблицы, наименьшая относительная максимальная ошибка достигается при r=1, также при r=1 доля наборов, относительная ошибка которых меньше заданного значения, зачастую больше. Следовательно, можно сделать вывод, что в большей части случаев использование параметра r=1 является оптимальным. Также мы видим, что относительная эвристическая ошибка довольно низкая, из чего ясно, что возможно использование приближенной модели (3)-(5) вместо модели (1)-(2).

5. Заключение

В ходе исследования на численном эксперименте было установлено, что приближенная модель (3)-(5) может применяться вместо модели (1)-(2).

Преимущество приближенной модели в том, что можно найти решение в аналитической форме, что позволяет исследователям находить аналитические результаты, недостижимые для моделей, которые могут быть решено только с помощью численным методов.

Литература:

1. Berk E., Arreola-Risa A. Note on “Future supply uncertainty in EOQ models” // Naval Res. Logist, 1994. Vol. 41, No.1. P.129–132.
2. Parlar M., Berkin D. Future supply uncertainty in EOQ models // Naval Res. Logist., 1991. Vol. 38, No 1. P. 107–121.
3. Parlar M., Perry D. Analysis of a (Q, r, T) inventory policy with deterministic and random yields when future supply is uncertain // Eur. J. Oper. Res., 1995. Vol. 84, No 2. P. 431–443.
4. Parlar M., Perry D. Inventory models of future supply uncertainty with single and multiple suppliers // Naval Res. Logist., 1996. Vol. 43, No 2. P. 191–210.
5. Snyder L. V., 2014. A tight approximation for an EOQ model with supply disruptions // Int. J. Production Economics., 2014. Vol. 155, P. 91–108.
6. Tomlin B. T. On the value of mitigation and contingency strategies for managing supply chain disruption risks // Manag. Sci., 2006. Vol. 52, No 5. P. 639–657.