Математическое моделирование ускоренного заряда накопительного конденсатора от источника ограниченной мощности



Разработана математическая модель метода зарядки емкостного элемента от источника ЭДС ограниченной мощности. Проведен анализ возможности практической реализации данного метода. Приводится сравнение с зарядом непосредственно от идеального источника ЭДС.

Ключевые слова: зарядка, конденсатор, автономное питание.

A mathematical model of the method of charging a capacitive element from an EMF source of limited power has been developed. The analysis of the possibility of practical implementation of the method is carried out. A comparison is made with the charge directly from an ideal EMF source.

Keywords: charging, capacitor, self-contained power supply.

Введение.

Затрагиваемая проблема состоит в том, что не вся энергия, имеющаяся в источнике ЭДС, является доступной вследствие ограничений скоростью заряда. Особенно актуальным этот вопрос представляется в ситуациях, когда распределение мощности по времени не является постоянной величиной и наблюдаются изменения, обусловленные случайными факторами. Примером могут служить такие возобновляемые источники энергии, как солнечный свет, ветер, движение воды и т. д. В таких случаях возникает риск потери энергетических запасов по причине вероятностного характера природных процессов [1] и возможного дефицита мощности в случайные моменты времени. Если при этом необходимо обеспечить автономность и непрерывность функционирования потребляющего устройства, то важным является своевременная аккумуляция энергии с целью последующего распределения и использования.

Дополнительную сложность составляет наличие нелинейности в зависимостях между физическими параметрами генераторов электроэнергии. Например, типичная вольтамперная характеристика фотобатареи [2], изображенная на рисунке 1, показывает, что максимальная мощность, соответствующая точке N, лежащей на прямой 0A, достижима при условии соблюдения определенных значений напряжения и тока, что не позволяет подключать накопительный конденсатор непосредственно к генератору.

Рис. 1. Вольтамперная характеристика фотобатареи

Цель работы состоит в изучении метода ускоренного заряда емкостного элемента от источника ЭДС ограниченной мощности посредством математического моделирования энергетических процессов и оценке возможности практической реализации данного метода.

Основная часть.

Наиболее простым способом заряда конденсатора является непосредственное подключение к источнику ЭДС. В тех ситуациях, когда ограничениями мощности заряда можно пренебречь, справедлива формула [2]:

(1)

где — выбранный момент времени, — напряжение на выходе источника, — напряжение на выводах конденсатора, , — его внутреннее сопротивление и емкость.

Если падение напряжения источника ЭДС значительно вследствие ограничения его мощности:

(2)

где — максимальная мощность источника, — напряжение на выходе источника ЭДС, — потребляемая сила тока:

(3)

(4)

Из 2, 3 и 4:

(5)

(6)

(7)

После разделения переменных и интегрирования по указанным пределам:

(8)

где, исходя из начальных условий :

(9)

На рисунке 2 показано, как будет заряжаться конденсатор согласно (8), если подключен к источнику мощностью 0,01 Вт или 1 Вт при R=40 Ом, C=1 Ф. Для сравнения приведены вычисления по формуле 1 при E=const=5 вольт:

Рис. 2. Зависимость напряжения на выводах конденсатора от времени

Из этого примера видно, что возможны по меньшей мере два случая: более медленный заряд, чем при E=const, и более быстрый. Первый является очевидным, потому что при крайне низкой мощности источника потребуется повышенное количество времени на совершение работы по созданию электрического поля конденсатора. Больший интерес представляет второй случай с позиции принципиальной возможности практической реализации.

На рисунке 3 видно, что ускорение заряда происходит по причине повышенного напряжения источника ЭДС по сравнению с E=const=5 Вольт.

Рис. 3. Зависимость напряжения источника ЭДС от напряжения на обкладках конденсатора при фиксированной мощности

Таким образом, для указанного примера можно сделать вывод о том, что для значительного уменьшения времени заряда требуется повышение напряжения менее, чем в 2 раза. При этом максимальная сила тока согласно уравнению 5 составит менее 160 мА. Эти параметры являются допустимыми и реализуемым на практике.

Из закона сохранения энергии:

(10)

(11)

где — мощность, рассеиваемая на активном сопротивлении конденсатора, — напряжение, падающее на этом сопротивлении, — мощность, затрачиваемая на создание электрического поля конденсатора, которая из определения мощности составляет, с учетом (6):

(12)

С учетом (11), уравнение электрического состояния согласно второму правилу Кирхгофа имеет вид:

(13)

Из рисунка 4 видно, что эффективность процесса заряда увеличивается с ростом напряжения на выводах конденсатора, потому что большая часть мощности уходит на внутреннее активное сопротивление. Следовательно, для предотвращения перегрева и оптимизации энергетических процессов в устройстве, работающем от восполняемых источников, необходимо не допускать глубокого разряда.

Рис. 4. Мощность, потребляемая конденсатором

Заключение.

Описанные меры по ускорению и оптимизации процесса заряда конденсатора от источников ЭДС, имеющих ограниченную мощность, сводятся к увеличению напряжения на выводах конденсатора и контролю глубины разряда. Дальнейшие исследования предполагается вести в области схемотехнических решений. При этом произведенная оценка выходных параметров необходимого преобразователя, включающих максимальный ток и напряжение, показывает принципиальную возможность практической реализации указанных мер, и, учитывая нелинейный характер полученных зависимостей тока от напряжения и диаграммы на рисунке 1, можно предположить, что зарядное устройство оптимальнее разрабатывать на основе микро ЭВМ и цифровых методов обработки.

Литература:

1. Справочник по ресурсам возобновляемых источников энергии России и местным видам топлива. Показатели по территориям. — М.: ИАЦ Энергия, 2007. — 272 с.
2. Дзензерский В. А., Плаксин С. В., Житник Н. Е., Погорелая Л. М. Метод зарядки химических источников тока в составе фотоэлектрической установки // Электроэнергетика. — 2009. — № 2. — С. 73–77.
3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для бакалавров. — 12-е изд. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 701 с.