Дополнительные теоремы о свойствах индекса оператора



В данной статье рассмотрены основные и дополнительные теоремы об индексе оператора и дефектных числах, которые имеют большое теоретическое значение в изучении дифференциальных и операторных уравнений.

Ключевые слова: оператор, индекс.

Обозначения и основные теоремы

Пусть имеем банаховы пространства и ․ Будем говорить, что оператор действует из банахово пространство в банахово пространство , если область определения оператора лежит в

, а область значений — в .

Оператор называетя линейным, если выполняются условия

Оператор

называется непрерывным в внутренней точке множества , если для любой последовательности из , которая по норме стремится к , последовательность по норме стремится к .

Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждой внутренней точке из .

Оператор называется ограниченным, если всякое ограниченное множество из он переводит в ограниченное множество в .

Теорема 1. Оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. [2]

Теорема 2. Оператор ограничен тогда и только тогда, когда т.ч.

Нормой ограниченного օператора называется величина

Под суммой двух операторов подразумевается оператор , т.ч.

Теорема 3.

Пусть оператор действует из в , а оператор из в . Под произведением операторов и подразумевается оператор сопоставляющий элементу элемент

Областью определения оператора является множество тех , что .

Теорема 4.

Оператор называется обратимым, если уравнение

имеет единственное решение, а оператор , сопоставляющий каждому решение уравнения называется обратным оператором оператора .

Теорема 5. Если линейный оператор обратим, то его обратный оператор также линеен. (см. [3] или [4, с. 224]])

Теорема 6 (Теорема Банаха об обратном). Если оператор взаимно-однозначно отображает банахово пространство на банахово пространство

и оператор ограничен, то его обратный оператор также ограничен.

Линейным функционалом над линейным пространством называется линейный оператор . Будем обозначать .

Сопряженным пространством линейного пространства называется множество всех линейных непрерывных функционалов над и обозначается через .

Сопряженным оператором линейного оператора

называется оператор , удовлетворяющий условию

Легко заметить, что сопряженный оператор также линеен.

Теорема 7. Если — линейный непрерывный оператор, отображающий банахово пространство на банахово пространство , то сопряженный оператор также непрерывен и верно следующее утверждение

Ядром оператора называется следующее множество

Легко заметить, что ядро линейного оператора является линейным подпространством линейного пространства .

Ядро сопряженного оператора называется коядром.

Если размерность ядра и коядра оператора конечномерны, то деффектнымо числами этого оператора называются величины

А пара называется d-характеристикой оператора .

Если оба из этих чисел конечны, то говорят, что оператор обладает конечной d-характеристикой.

Теорема 8. Коядро конечномерно тогда и только тогда, когда конечномерно фактор пространство и верно утверждение

Линейным аннигилятором подпространства из

называется множество

Заметим, что если и . Таким образом, если , то .Следовательно

Оператор

называется нормально разрешимым, если

Теорема 9. Оператор нормально разрешим тогда и только тогда, когда его образ замкнут.

Доказательство: Пусть оператор нормально разрешим, докажем что его образ замкнут. Пусть последовательность сходится к .

Докажем, что . Так как

, следовательно, . Перейдя к пределу, имеем , следовательно, .

Пусть теперь образ оператора замкнут. Предположим, что он не нормально разрешим, то есть такой, что . Согласно теореме Хана-Банаха, существует непрерывнуй линейный функционал , такой, что и . Таким образом

, но . Противоречие!

Таким образом теорема доказана!

Оператор называется замкнутым если следует, что и .

Оператор называется Фредгольмовым (Далее Ф-оператор), если выполняются условия

1. замкнут.
2. нормально разрешим.
3. обладает конечной d-характеристикой.

Индексом оператора

называется величина

Заметим также, что оператор обратим тогда и только тогда, когда размерность его ядра нулевая.

Оператор называется компактным, если всякое ограниченное множество из он переводит в предкомпактное множество в .

Теоремы о дефектных числах и индекса оператора

Теорема 1. Пусть

Если оператор Ф-оператор, также Ф-оператор и верно следующее утверждение

Доказательство: Пусть Ф-оператор. Так как и ,то

Теорема доказана!

Теорема 2. Пусть Ф-оператор, тогда

1. Если , то тогда оператор можно представить в виде суммы

где обратима, а обладает конечномерным образом.

2. Если , то тогда оператор можно представить в виде суммы

где , а обладает конечномерным образом.

3. Если , то тогда оператор можно представить в виде суммы

где , а обладает конечномерным образом.

Доказательство: Пусть базис в , а базис в То есть

Согласно теореме Хана-Банаха, существуют такие непрерывные линейные функционалы и , что

Обозначим , где

и линейные оболочки соответственно

и . Таким образом и разлогаются в прямую сумму

Рассмотрим теперь указанные 3 случая.

1. Если , то . Так как , то

можно представить как

однозначным образом, где , a . Определим оператор

и рассмотрим оператор . Из определения операторе следует что ядро оператора

нулевое, а следовательно, обратима. в свою очередь обладает конечномерным образом.

2. Если , то . Определим оператор

Аналогично предыдущему случаю, оператор обратим, а обладает конечномерным образом.

3. Если , то ․ Проведя ту же схему доказательства для исчерпаем и третий случай.

Таким образом, теорема доказана!

Заметим также, что во всех трех случаях оператор обладает либо левым обратным, либо правым, либо и тем, и другим.

Для следующей теоремы нам понадобится лемма.

Лемма . Псуть — банахово пространство, которое разложено в прямую сумму

Где -конечномерна и пусть -плотная линейная часть . Тогда

1. плотна в

2. Пространство разлогается в прямую сумму

Где .

Доказательство: Пусть базис в . Согласно теореме Хана-Банаха существуют такие непрерывные линейные функционалы , что

и .

Пусть настолько близки к , что определитель матрицы

отличен от нуля.

Возьмем . Существует последовательность из , которая стремится к .

Обозначим

Так как определитель вышеуказанной матрицы отличен от нуля, то можем подобрать так чтобы Таким образом

Так как следовательно таким образом

и . Итак, мы показали, что плотна в .

Обозначим . Так как имеет ту же размерность, что и и, кроме того, , следовательно

Лемма доказана!

Теорема 3. Если и Ф-операторы действующие из банахово пространства в , а , тогда их произведение также Ф-оператор и выполняется условие

Доказательство: Обозначим

. Так как конечномерно, то так же конечномерно. Обозначим . Тогда .

в свою очередь может быть представлено в виде прямой суммы

Где -некоторое другое подпространство, размерность которого равно

.

В силу доказанной леммы представимо в виде прямой суммы

Где подпространство, размерность которого обозначим через .

Таким образом и согласно альтернативе Фредгольма

Литература:

1. The Index of Elliptic Systems of Singular Integral Operators* R. T. SEELEY JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS 7, 289–309 (1963)
2. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН, 1957, том 12, выпуск 2(74), 43–118
3. А. И. Вольперт, Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости, Тр. ММО, 1961, том 10, 41–87
4. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа