Применение метода PERT при прогнозировании продолжительности строительства



В статье рассматривается метод PERT как один из основных научных подходов к прогнозированию продолжительности строительства.

Ключевые слова: риски, строительные риски, продолжительность работ.

В основе вероятностного календарного планирования лежит факт признания того, что продолжительности работ представляют собой не детерминированные, а случайные величины. Любая случайная продолжительность работы может изменяться от а=t _min до в=t _max . При этом минимальное значение должно быть больше нуля, а максимальное значение может быть большим, но конечным числом. Для математического описания значений случайных продолжительностей используются интегральная и дифференциальная функции распределения, при этом последняя определяется как функция плотности распределения случайной величины. Интегральная функция распределения обычно обозначается как F(t) и показывает вероятность того, что случайная продолжительность не превышает заданного значения t . Функция плотности распределения случайной продолжительности обозначается как f(t) и определяет вероятность нахождения случайной продолжительности в интервале от t до t+dt . В дальнейшем, при рассмотрении особенностей вероятностного календарного планирования, будет использована дифференциальная функция распределения случайной продолжительности [4].

Анализ публикаций по вероятностному календарному планированию выявил наиболее часто используемые виды функций плотности распределения случайных продолжительностей. Обычным по эмпирическим данным с помощью регрессионного анализа устанавливается наиболее адекватная форма кривой распределения.

Нормальное распределение определяется формулой:

(1)

где m, s — мода и стандартное отклонение соответственно.

Распределение Пуассона:

(2)

где  — параметр закона Пуассона.

Двухпараметрическое бета распределение:

(3)

где а и b — нижняя и верхняя границы распределения.

Равномерное распределение:

(4)

Однако основным недостатком применения того или иного вида распределения является то, что не существует гарантии адекватности будущей статистики.

В настоящее время основным методом вероятностного календарного планирования считается метод PERT . В его основу положено использование трехпараметрического бета распределения и формирование 3-х соответствующих расписаний работ. Для практической реализации данного метода моделирования вероятностных расписаний работ требуется установление следующих продолжительностей работ: оптимистической — a , наиболее вероятной — с и пессимистической — b . При этом оптимистическая продолжительность может интерпретироваться как плановая продолжительность, а пессимистическая — как максимально неблагоприятная. При этом считается, что все три характеристики случайной продолжительности работ определяются разработчиком графика [1].

Расчет математического ожидания продолжительности работы t для трехпараметрического бета распределения осуществляется по следующей формуле 5:

(5)

где w ₁ , w ₂ и w ₃ — это весовые множители, сумма которых считается равной 6.

По умолчанию значения этих весов заданы равными w ₁ = 1, w ₂ =4 и w ₃ =1, что соответствует исходному бета распределению. Фактически же с помощью вариации весовыми коэффициентами можно рассчитать среднюю продолжительность для различных видов распределения. Например, принимая w ₁ = 3, w ₂ =0 и w ₃ =3, по формуле (5) можно рассчитать среднюю продолжительность, соответствующую равномерному распределению.

Определение весовых множителей и различных значений продолжительностей для всех работ осуществляется на основании обработки статистических данных или с помощью метода экспертных оценок. Однако представляет определенную методическую сложность определение наиболее вероятной продолжительности выполнения работы (моды распределения) как с помощью статистики, так и на основе различных методов экспертных оценок. Другим недостатком использования бета распределения является то, что оно не учитывает качество управления [2].

Рассмотрим обоснование формы кривой распределения случайной продолжительности работы на основании следующего эмпирического факта: вероятность меньшего отклонения от плановой продолжительности выше вероятности большего отклонения от той же плановой продолжительности. Из принятия данного факта вытекает следствие: кривая, отражающая распределение плотности вероятности случайной продолжительности, — это монотонно убывающая функция. Однако на отрезке [a, b] можно определить достаточно большое количество монотонно убывающих функций. Поэтому для уменьшения этого множества введем следующее ограничивающее условие, вытекающее из учета управленческого противодействия процессу несвоевременного выполнения работ. Суть его заключается в том, что, чем больше предвидение отставания проекта от планового графика, тем больше управленческих усилий требуется приложить для его устранения.

Рассмотрим первую производную функции плотности вероятности по времени df(t)/dt. Сама функция плотности распределения показывает вероятность конкретного значения случайной величины, следовательно, первая производная показывает скорость изменения вероятности. Если скорость увеличения вероятности возрастает, то необходимо пропорциональное управленческое усилие, противодействующее этому возрастанию, которое описывается следующим дифференциальным уравнением [3]:

(6)

где

α — коэффициент пропорциональности, учитывающий изменение силы противодействия возникновению несвоевременности.

Интегрируя уравнение (6), получаем экспоненциальную функцию распределения плотности вероятности, которую можно представить в следующем виде:

(7)

где

m — параметр, определяющий математическое ожидание случайной продолжительности работы;

a — минимальная продолжительность, которая определяется, как плановая продолжительность.

Заметим, что в обоих знаменателях формулы (7) разность между математическим ожиданием и минимальной продолжительностью определяется средним квадратичным (стандартным) отклонением s, и тогда экспоненциальную зависимость можно представить в виде:

(8)

На графике рис. 1 показана соответствующая зависимость.

Рис. 1. Плотность вероятности экспоненциального распределения, определяемая размахом 4s

Для четкого определения верхней границы данного распределения можно ввести его условный размах, имеющий ширину, равную 4s. Если принять данное условие, то доверительная вероятность нахождения продолжительности работы, определенная диапазоном от m-s до m+3s будет составлять более 98 %. В результате экспоненциальное распределение будет разделено на квартили равные ширине стандартного отклонения, а математическое ожидание будет делить общий размах в соотношении один к трем. С учетом этого искомая формула будет иметь следующий вид:

(9)

Литература:

1. Болотин С. А., Дадар А. Х., Мальсагов, А. Р. Анализ современных методов прогноза продолжительности строительства / С. А. Болотин, А. Х. Дадар, А. Р. Мальсагов // Международный научно-технический журнал. — 2018. — №.4 — С.79–83.
2. Современные проблемы строительной науки, техники и технологии / Н. В. Брайла, Ю. Г. Лазарев, М. А. Романович, Т. Л. Симанкина, А. В. Улыбин; СПбПУ. — СПб., 2017.
3. Ветошкина, Л. К. Оценка вероятности своевременного завершения строительства / Л. К. Ветошкина. — Текст: непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 4 (190). — С. 22–24. — URL: https://moluch.ru/archive/190/48067/ (дата обращения: 29.01.2022).
4. Ветошкина, Л. К. Оценка рисков несвоевременного завершения строительства / Л. К. Ветошкина. — Текст: непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 4 (190). — С. 20–22. — URL: https://moluch.ru/archive/190/48007/.