Механизм коррекции результатов дешифровки квантово-устойчивого шифра на основе нейроcети



В данной статье автор раскрывает сложности реализации квантово-устойчивого шифра на основе нейронной сети при реализации на ЭВМ и показывает, как их можно устранить.

Ключевые слова: квантово-устойчивый шифр, нейронная сеть, тип данных, сложность вычисления.

Одним из вариантов квантово-устойчивого шифрования является шифр, основанный на применении нейронной сети. Данный шифр является теоретически не взламываемым, как и шифр Вернама, [1] и не требует обмена ключами между двумя сторонами.

На практике реализация данного шифра на ЭВМ сталкивается с рядом ограничений, обусловленных ограничениями нейронов и самой архитектурой ЭВМ. Использование в алгоритме шифрования математических нейронов оказывает ограничения на формат представления шифруемых данных. Формат и диапазон допустимых значений зависит от того, какую активационную функцию используют для реализации математических нейронов. [2] Основные функции активации, и ограничения, накладываемые ими, представлены в таблице 1.

Таблица 1

Функции активации и ограничения, накладываемые ими

Функция активации	Формула	Область
		Определения	Значения
Сигмоида
Тангенс
Арктангенс
Гиперболический арксинус
Гиперболический арккосинус

Типы данных «float» и «double» регулируется международным стандартом IEEE 754, согласно которому, под данный тип данных, ЭВМ должна отводить 32 и 64 бита памяти соответственно. Это позволяет хранить дробные числа с 6 и 15 знаками после запятой. [3] Если, в результате вычислений, получилась дробь с большим количеством разрядов, или же бесконечная дробь, ЭВМ «отбрасывает» все знаки, находящиеся после 6 или 15 разряда. [4] Многие функции активации нейронов и тригонометрические функции могут иметь значения, гораздо превышающие 15 разрядов после запятой. Поэтому зачастую реализация подобных функций на ЭВМ выдает результат с некоторой отрицательной погрешностью. [5]

При реализации каких-либо вычислений с числами типа «float» и «double» на ЭВМ точность вычислений снижена по причине сложности их реализации. Сложность заключается в том, что человек использует десятичную систему счисления, а компьютер двоичную. Дробь в десятичной системе счисления невозможно перевести в двоичную. Вместо этого, в память ЭВМ, записывается максимально приближенное к дроби двоичное число. Размер погрешности приближенного числа разнится и зависит от ОС. Такой тип данных нельзя использовать для сравнения на предмет равенства. [4]

Тригонометрические функции, при вычислении на ЭВМ, так-же считаются с погрешностями. Это вызвано тем, что ЭВМ использует упрощенные методы их вычислений, например Ряды Тейлора. Это приводит к тому, что результат отличается от истинного (имеет погрешность). [6]

В построении нейронных сетей наличие данных погрешностей несущественно, а в реализации шифрования критично. «Отбрасывание» знаков после запятой приводит к потере данных, а погрешность в расчетах не позволяет точно декодировать шифр. Примеры этого представлены в таблице 2.

в таблице 2.

Таблица 2

Примеры искажения передаваемых данных

Отправлено	Получено	∆	∆ %
0,657	0.67444031601614	-0.00055968398385586	-0.082916145756424
0,1	0.099998176456816	−0,00000182354	-0.0018235431837044
0,25	0.2499715139834	−0,00002848601	-0.011394406638487
0,892	0.89071040554366	-0.0012895944563356	-0.14457336954435

Связи с этим, при реализации шифрования данных предлагаемой системой шифрования, программист должен осуществить коррекцию данных после дешифровки. Наиболее простым способом коррекции данных является использование псевдоодносторонней функции деления с остатком (1). [7]

(1)

Особенность данной псевдоодносторонней функции заключается в том, что, зная делимое и делитель ( ), всегда можно найти неполное частное ( ) и остаток от деления (r). Однако, зная остаток от деления ( ) и делитель ( ), невозможно сказать, каким было делимое ( ), т. к. их бесконечное множество. Пример подбора делимых представлен в таблице 3.

Таблица 3

Пример подбора делимых

Делитель	Остаток	Делимое	Расчет
2	0	2
2	0	4
2	0	6
2	0	8
2	0	10
2	0	12
2	0	14

Таким образом, передача неполного частного и остатка от деления перехватчику не даст вычислить делимое.

Условимся, что передаваемое сообщение ( ) — это частное, а остаток от деления ( ) должен быть равен 0. Тогда мы можем вычислить для сообщения делитель ( ), который можно передать вместе с сообщением. (2)

(2)

Данный делитель можно будет использовать для коррекции числа следующим образом: в расшифрованное сообщение (число) нужно прибавлять 1 в младший разряд до тех пор, пока не получится число, которое без остатка разделится на делитель. (3)

(3)

Первое число, которое разделится без остатка на делитель и будет корректным сообщением.

Найти такой делитель очень просто: достаточно разделить сообщение ( ) на целое случайное число. (4)

(4)

Передав такой делитель вместе с зашифрованным сообщением, получатель сможет расшифровать данное сообщение и откорректировать. При этом передача делителя угрозы не несет.

Шифр на основе нейронной сети с коррекцией результата расшифровки представлен на листинге 1.

Листинг 1. Шифр на основе нейронной сети с коррекцией результата.

function neiro($x) {

$y=asinh($x);

return $y;

}

function anti_neiro($y) {

$x=acosh($y);

return $y;

}

function prov_f($x) {

return $x/rand(1, 10);

}

function correct_f($x, $prov) {

$str=explode(".", strval($x));

$correct_min="0.";

for ($i=0; $i<(strlen($str[1])-1); $i++) {

$correct_min=$correct_min."0";

}

$correct_min=floatval($correct_min."1");

for ($i=0; $i<1; $i++) {

$i--;

$u=floatval($x)/floatval($prov);

$u=floatval(round($u)-$u);

if ($u == 0) {

$u=1;

$i=2;

}

else {

$x=floatval($x)+floatval($correct_min);

}

}

return $x;

}

$key1=0.10; //Первый ключ Алисы

$key2=0.20; //Второй ключ Алисы

$key11=0.30; //Первый ключ Боба

$key22=0.40; //Второй ключ Боба

$pered=0.123456789; //Передаваемое сообщение

$prov=prov_f($pered);

echo $pered." // Сообщение ".$prov." Число проверки\n";

$etap1=neiro(neiro($pered*$key1)*$key11); //Шифрование Алисы

echo $etap1." // Сообщение зашифрованное Алисой \n";

$etap2=neiro(neiro($etap1*$key2)*$key22); //Шифрование Боба

echo $etap2." // Сообщение зашифрованное Бобом \n";

$etap3=anti_neiro(anti_neiro($etap2)/$key11)/$key1; //Дешифровка Алисы

echo $etap3." // Алиса сняла свое шифрование \n";

$etap4=anti_neiro(anti_neiro($etap3)/$key22)/$key2; //Дешифровка Боба

echo $etap4." // Боб снял свое шифрование \n";

echo "\n";

$correct=correct_f($pered, $prov);

echo $correct." // Боб откорректировал свое значение \n";

echo "\n";

?>

Результат работы данной программы представлен на листинге 2.

Листинг 2. Результат работы программы.

0.123456789 // Сообщение 0.013717421 Число проверки

0.0037036011257876 // Сообщение зашифрованное Алисой

0.0002962880586341 // Сообщение зашифрованное Бобом

0.0098762686211368 // Алиса сняла свое шифрование

0.12345335776421 // Боб снял свое шифрование

0.123456789 // Боб откорректировал свое значение

Данный код был написан на языке программирования PHP 8.4 [8] и проверен на онлайн интерпретаторе OnlineGDB. [9]

Литература:

1. Невзламываемый шифр Вернама // КОД. Код журнал Яндекс Практикума. URL: https://thecode.media/vernam/ (дата обращения: 03.01.2025).
2. Rashid, Tariq. Make Your Own Neural Network / Tariq Rashid. -: CreateSpace, 2016. — 222c. — Текст: непосредственный.
3. IEEE 754. IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. — NewYork: American National Standard, 1985. — 18 c. — Текст: непосредственный.
4. Числа с плавающей точкой. — Текст: электронный // php.net: [сайт]. — URL: https://www.php.net/manual/ru/language.types.float.php (дата обращения: 15.01.2025).
5. Карцев, М. А. Арифметика цифровых машин / М. А. Карцев. — М.: Наука, 1969. — 576 c. — Текст: непосредственный.
6. Как компьютер считает синусы. — Текст: электронный // КОД: [сайт]. — URL: https://thecode.media/sinus/ (дата обращения: 15.01.2025).
7. MOD function. — Текст: электронный // Microsoft: [сайт]. — URL: https://support.microsoft.com/en-us/office/mod-function-9b6cd169-b6ee-406a-a97b-edf2a9dc24f3 (дата обращения: 15.01.2025).
8. PHP 8.4 // PHP. URL: https://www.php.net/releases/8.4/ru.php (дата обращения: 15.01.2025).
9. OnlineGDB. URL: https://www.onlinegdb.com/online_php_interpreter (дата обращения: 15.01.2025).