Математическая модель композитного баллона, изготовленного непрерывной жгутовой намоткой

В работе представлена модель композитного баллона давления изготавливаемого непрерывной жгутовой намоткой в виде системы дифференциальных уравнений, удобная для численного анализа, позволяющая получить конструкцию, образованную равнонапряженными нитями, уложенными вдоль геодезических линий на поверхности оправки.

Ключевые слова: композитный баллон давления, жгутовая намотка, геодезическая траектория, оптимальное армирование.

Рассмотрим композитный баллон давления в виде цилиндрической оболочки с днищами, выполненный методом намотки. Примем, что нить на днище совпадает с геодезической линией на поверхности (положение, которое нить стремится принять на гладкой поверхности при натяжении).

Под проектированием баллона давления будем понимать определение формы образующей баллона и схемы армирования баллона нитями. При этом оптимальным проектом является такой, который позволяет получить композитную конструкцию, образованную равнонапряженными нитями.

Как правило, при проектировании баллона давления в качестве исходных используют следующие данные (рис. 1):

— радиус оболочки на экваторе ();

— радиус полюсного отверстия ().

Для геодезической намотки угол намотки на экваторе определяется по формуле:

                                                                                                                (1)

Рис. 1. — Профиль образующей днища:  — радиус оболочки на экваторе;  — максимальный радиус фланца;  — радиус полюсного отверстия

Принято [1, с.356; 2, с.54] искомую оптимальную форму образующей днища составлять из двух участков: участка от a до  и участка от  до . При этом на первом участке форма днища определяется уравнением

                                                                                              (2)

а на втором участке — уравнением

                                                                                    (3)

где  — угол намотки.

Уравнения (2) и (3) обеспечивают связь между углом намотки и формой образующей днища баллона для получения геодезической схемы армирования и равнонапряженности нитей в композитной конструкции.

Очевидным способом получения расчетной схемы на основе уравнений (2) и (3) является составление системы дифференциальных уравнений относительно и . Однако, возникает трудность с заданием начальных условий для интегрирования такой системы, поскольку в начальной точке — точке  — значение производной  равно бесконечности (рис. 1).

Получим систему дифференциальных уравнений используя натуральное уравнение плоской кривой [3, с.141]. Пусть  — плоская кривая, зависящая от натурального параметра . Тогда можно записать:

Условимся отсчитывать  в положительном направлении, связанном с данной кривой. Произвольной остается только начальная точка отсчета.

Обозначим через  угол, образованный единичным касательным вектором [3]

c положительным направлением оси .

Тогда справедливы следующие равенства:

                                                                                                    (4)

Найдем выражения для  и , входящих в (1) и (2), с учетом последних равенств:

Окончательно получим:

                                                                                                                       (5)

                                                                                                     (6)

Подставляя (4) и (5) в (1) и выражая , получим:

                                                                                                (7)

Объединяя уравнения (4) и (7), получим следующую систему дифференциальных уравнений для определения профиля днища и закона изменения угла намотки при :

                                                                                             (8)

В этой системе дифференциальных уравнений начальный угол  нельзя выбирать произвольно, так как  является функцией . Система (8) справедлива при .

Аналогичным образом может быть получена система дифференциальных уравнений при . Она имеет следующий вид:

                                                                                 (9)

Решения систем (8) и (9) должны удовлетворять условиям сопряжения участков.

Результаты расчета профилей днищ представлены на рисунке 2, на котором профиль (1) соответствует радиусу на экваторе — 150мм, радиусу полюсного отверстия — 20мм, радиусу фланца (b1) — 24,5; профиль (2) соответствует радиусу на экваторе — 130, радиусу полюсного отверстия — 30, радиусу фланца (b2) — 36,75; профиль (3) соответствует радиусу на экваторе — 100, радиусу полюсного отверстия — 40, радиусу фланца (b3) — 49.

Рис. 2. Профили днищ

На рисунках 3, 4 и 5 представлены соответствующие трехмерные модели оболочек и их схемы армирования.

Рис. 3. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (1)

Рис. 4. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (2)

Рис. 5. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (3)

Литература:

1.      Композиционные материалы: Справочник. — М.: Машиностроение, 1990.

2.      В. В. Васильев, И. Ф. Образцов, В. А. Бунаков — Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов методом намотки. — М., «Машиностроение», 1977.

3.      П. К. Рашевский — Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4-е, исправленное. — М.: Едиториал УРСС, 2003.