3D моделирование и расчёт ОЦК и ГЦК структур

Кристаллографическая структура Fe характеризуется объёмноцентрированной решёткой. Моделирование пространственного расположения атомов Fe показало, что по сравнению с ГЦК-решёткой Cu имеет периодическое повторение апериодических групп. Относительно начала отсчёта апериодическая группа расстояний составляет множество {3, 1, 4}. Нарушение периодичности ОЦК-решётки Fe происходит при переходе узла с №168 на узел №169. Должно быть изменение расстояния на постоянную решётки а₀/2, а оно равно а₀/2. Следующее такое нарушение происходит между узлами №530 и №531. Множество расстояний {3,5} появляется с интервалом через 422 узла. При компьютерном моделировании структуры ОЦК-решётки наблюдаются следующие закономерности. На первой сфере радиусом R₁ = а₀/2 находятся 8 атомных узлов. Радиус R₂ второй сферы на а₀/2 больше радиуса первой сферы. Атомные узлы третьей сферы отстоят на а₀/2 от второй сферы. В трёх группах атомных остовов присутствует равномерное наращивание расстояний узлов на 3, 1, 4. Этими группами ограничивается десятая сфера структуры. В этой последовательности радиус R₁₁ 11-ой сферы должен был измениться на а₀/2, но на этой сфере происходит разрыв этой последовательности. Имеются следующие разности радиусов:

1. R₁₂–R₁₁ = R₂₂–R₂₁ = R₃₃–R₃₂ = R₄₃–R₄₂ = R₅₃–R₅₂ = R₆₅–R₆₄ = R₇₆–R₇₅ =
   = R₈₆–R₈₅ = R₉₇–R₉₆ = R₁₀₈–R₁₀₇ = R₁₁₉–R₁₁₈ = R₁₂₉–R₁₂₈ = R₁₄₀–R₁₃₉ =
   = R₁₆₁–R₁₆₀ = R₁₇₁–R₁₇₀ = а₀/2;

2. R₃₉–R₃₈ = R₈₂–R₈₁ = R₁₂₅–R₁₂₄ = R₁₆₇–R₁₆₆ = а₀/2;

3. R₁₅₁–R₁₅₀ = а₀.

То же самое происходит и в других парах соседних сфер.

Для такого же максимального радиуса координационной сферы в ГЦК-решётке Cu наблюдаются следующие закономерности. Имеются следующие разности радиусов:

R₁₄–R₁₃ = R₂₉–R₂₈ = R₄₄–R₄₃ = R₅₃–R₅₂ = R₅₈–R₅₇ = R₇₃–R₇₂ = R₈₈–R₈₇ =
= R₁₀₃–R₁₀₂ = R₁₁₂–R₁₁₁ = R₁₁₇–R₁₁₆ = R₁₁₈–R₁₁₇ = R₁₃₁–R₁₃₀ =
= R₁₄₆–R₁₄₅ = R₁₄₇–R₁₄₆ = R₁₅₂–R₁₅₁ = R₁₅₇–R₁₅₆= R₁₆₄–R₁₆₃ =
= R₁₆₅–R₁₆₄ = R₁₆₆–R₁₆₅= R₁₆₉–R₁₆₈ = R₁₇₆–R₁₇₅=а₀/2.

1. R₁₅₀–R₁₄₉ = R₁₆₈ –R₁₆₇ = а₀/2..

Описанные закономерности для ОЦК-решётки можно выразить следующими формулами:

Здесь выражение x mod y — остаток от деления x на y, а выражение x div y — частное от деления x на y.

Компьютерное моделирование металлов с ГЦК- и ОЦК-решётками показывает, что в них наблюдаются разрывы в разностях радиусов последовательных координационных сфер. Множеством изменений радиусов в ГЦК-решётке является множество {2, 4, 6}, а в ОЦК-решётке — множество {1, 3, 4, 5, 7, 8}.

В ионном соединении NaCl атомы Na и Cl вместе составляют решётку ГЦК-структуры (хотя кристалл Na имеет ОЦК-структуру, а у Cl — сложная структура). В ГЦК-решётке NaCl расположения узлов Na и Cl сдвинуты друг относительно друга на вектор {а₀/2, а₀/2, а₀/2}. Компьютерная модель NaCl-ГЦК-структуры показывает, что до 95-ой координационной сферы разность радиусов соседних сфер происходит с периодическим чередованием изменения на а₀/2 и а₀/2. С 95-ой сферы по 170-ую сферу периодичность изменения нарушается, появляются радиусные разности, равные а₀/2. С возрастанием радиусов координационных сфер с 170-ой сферы по 184-ую сферу при минимальном отличии количества атомов от предыдущей группы разности радиусов резко возрастают и принимают хаотические значения. Разности радиусов координационных сфер в NaCl образуют множество {1, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 17}. Координационные числа и радиусы координационных сфер для ГЦК структур определяются по следующей формуле:

При расчёте координационных сфер элементарные ячейки ГЦК- и ОЦК-решёток представляются как сверхструктурные с заполнением положений собственных узлов атомами А, а дополнительных узлов решёток ПК — междоузельными атомами М. Заполнение атомами координационных сфер определяется на основе малой ПК-решётки с учётом октоэдрических (ОТ), тетраэдрических (Т) междоузлей.

Если атомы в решётке расположить с плотной упаковкой, то П-узлы — это центры межостовных решёток в методике изложения пространственного распределения атомов и междоузлий по координационным сферам в кристаллах. Тетраэдрические и октаэдрические междоузлия в остов-межостовной методике означают межостовное пространство, окружённое атомами в узлах кристаллической решётки.

Компьютерное моделирование свойств кристаллической решётки даёт в зависимости от ресурсов современных машин до миллиона, а при использовании системы управления базами данных (таких, как, например, Paradox 7) 1010÷1012 атомов. По описанной методике можно получить любые из имеющихся в этих атомных системах изменения радиусов координационных сфер, количества близлежащих соседей, расположения атомов относительно координационных сфер. На рисунке Рис. 1 показана шаростержневая модель первой сферы ГЦК-решётки с 12 атомами. Атомы показаны шарами малинового цвета, соединёнными стержнями-связами синего цвета с атомами-ближайшими соседями на сфере. Длины стержней-связей равны и 2. На рисунке Рис. 2 фронтальное перспективное изображение шаростержневой модели первой сферы ГЦК-решётки с 12 атомами. Атомы и стержни-связи показаны разными цветами. На рисунке Рис. 3 перспективный вид сверху шаростержневой модели первой сферы ГЦК-решётки с 12 атомами. Атомы и стержни-связи показаны разными цветами, идентичными На рисунке Рис. 4 перспективный вид повёрнутой на 45º вокруг оси x шаростержневой модели первой сферы ГЦК-решётки с 12 атомами. Атомы и стержни-связи показаны разными цветами, идентичными. На Рис. 5 перспективный вид шаростержневой модели первой сферы ГЦК-решётки с 12 атомами. Модель повёрнута на 90º вокруг оси z и на 45º вокруг оси x. Атомы и стержни-связи показаны разными цветами, идентичными. На Рис. 6 шаростержневая модель второй сферы ГЦК-решётки с 6 атомами (вид спереди). Атомы показаны шарами малинового цвета, соединёнными стержнями-связами синего цвета с атомами-ближайшими соседями на сфере. Длины стержней-связей равны. На Рис. 7 шаростержневая модель второй сферы ГЦК-решётки с 6 атомами (вид спереди). Атомы и стержни-связи показаны разными цветами. На Рис. 7 перспективный вид шаростержневой модели второй сферы ГЦК-решётки с 6 атомами. Модель повёрнута на 45º вокруг оси z. Атомы и стержни-связи показаны разными цветами, идентичными.