Аналог проблемы Гольдбаха-Эйлера для группы zm

В данной работе рассматривается задача, аналогичная проблеме Гольдбаха−Эйлера для группы классов вычетов по модулю , принадлежащих некоторым заданным подмножествам группы (− группа, образованная множеством приведенных классов вычетов по заданному модулю ). Исходя из того, что все простые числа за исключением простых делителей , находятся в примитивных классах вычетов по модулю , то вопрос о представлении классов вычетов по модулю в виде суммы двух примитивных классов вычетов можно рассматривать как аналог бинарной проблемы Гольдбаха для группы . Получена точная формула для числа представлений натурального числа в виде суммы двух примитивных классов по модулю .

In the given work the problem similar to problem Гольдбаха−Эйлера for group of classes of deductions on module , belonging to some set subsets of group ( − the group formed by set of resulted classes of deductions on set module ) is considered. Recognising that all simple numbers except for simple dividers , are in primitive classes of deductions on module the question on representation of classes of deductions on module in the form of the sum of two primitive classes of deductions can be considered as analogue of binary problem Гольдбаха for group . The exact formula for number of representations of natural number in the form of the sum of two primitive classes on module is received.

Здесь мы рассмотрим аналогичную задачу проблемы Гольдбаха&#;Эйлера для группы классов вычетов по модулю m. А именно задачу о представлении класса вычетов по модулю m в виде суммы нескольких классов вычетов по модулю m принадлежащих некоторым заданным подмножествам группы z_m.

Гольдбах (1742 г.) высказал предположение (бинарная проблема Гольдбаха), что любое число &#; 4 можно представить в виде суммы двух простых чисел.

В курсе теории чисел доказывается, что множество приведенных классов вычетов представляет собой группу, то есть для множества приведенных классов вычетов по любому модулю выполняются все условия группы. Эта группа является коммутативной и конечной группой.

Так как все простые числа за исключением простых делителей находятся в примитивных классах по модулю , причем имеются в каждом классе вычетов по модулю , то вопрос о представлении классов вычетов по модулю в виде суммы двух примитивных классов вычетов можно рассматривать как аналог проблемы Гольдбаха&#;Эйлера для группы .

В отличие от классической проблемы Гольдбаха&#;Эйлера этот ее аналог для группы решается полностью.

Пусть &#; целое число. Обозначим через число представления натурального в виде суммы двух примитивных вычетов по модулю , то есть число решений сравнения

в примитивных вычетах и .

Имеем:

где &#; число решений сравнения ; &#; функция Мёбиуса определяется равенством

&#; различные простые числа.

В силу мультипликативности функции по первому аргументу, отсюда следует

Из определения функции следует, что

Поэтому

Таким образом, мы получили точную формулу для числа представлений натурального числа в виде суммы двух примитивных классов вычетов по модулю .

Литература:

1. Маршал Холл. Теория групп.&#;М.: Иностранная литература, 1962.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел.&#; М.: Просвещение, 1966.

3. Гельфонд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел.&#; М., 1962.