О нулях преобразований Лапласа некоторых неубывающих функций

В работе доказывается, что если полуплоскости сходимости преобразование Лапласа некоторой неубывающей функции близко к экспоненте преобразования Лапласа другой неубывающей функции и допускает аналитическое предложение в некоторую вертикальную полосу левее абсциссы сходимости, то оно не обращается в нуль в области, подобной области Валле-Пуссена, свободной от нулей дзета- функции.

In the work it is proved that if in a half plane of convergence the transformation of Laplasa of some nondecreasing function is close to an exponent of transformation of Laplasa of other nondecreasing function and supposes analytical continuation in some vertical strip more to the left of a convergence absciss thus it does not turn to zero in the area similar to area of Valle-Pussen free from zeta-function zero.

Классическая постановка задачи о распределении простых чисел в натуральном ряду состоит в исследовании асимптотического поведения функции означающий число простых чисел, не превосходящих

Известные в настоящее время асимптотические формулы для имеют вид

где

интегральный логарифм, а - остаточный член, оценка которого связана с распределением нулей дзета функции Римана

Введем обозначение

преобразование Лапласа функции определенной для всех неотрицательных и интегрируемой на каждом конечном отрезке .

Тогда из тождества Эйлера следует:

(1)

при

Таким образом, задача о распределении простых чисел является частным случаем следующей общей задачи: заданы две функции вещественного аргумента и , преобразования Лапласа которых связаны соотношением (1), причем функция устроена достаточно хорошо. Считая асимптотику функции известной, найти асимптотику функции .

В дальнейшем мы будем считать что при

, (2)

где - положительная константа.

Отсюда следует, что преобразование Лапласа

абсолютно сходится в полуплоскости .

Пусть и в условиях(1)и (2) неубывающая функция, и для Тогда функция не обращается в нуль на прямой = 1.

Теорема 1. Пусть и - функции определенные при причем - неубывающая функция,

где функция - такова, что 1/ ограничена в полуплоскости

Тогда, если

то функция не обращается в нуль в области

где - положительная константа, зависящая только от .

Литература:

1. Landau E. Über den verlauf der zahlentheorethen Funktion. Arch. Math. und Phys. 5 (1903), 86&#;91.

2. Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&#; ОНТИ, 1936.

3. Тичмарч Е. Теория дзета функции Римана, ИЛ, 1953.