Условия нулевой плотности множеств натуральных чисел в арифметических прогрессиях, представимых в виде p+am

Рассматривается задача о представлении натуральных чисел, при надлежащих заданному классу вычетов по некоторому модулю и представимых в виде суммы u+v, где u,v- члены двух заданных последовательностей натуральных чисел. В 1934 году Н.П.Романов доказал теорему о положительной плотности множеств натуральных чисел представимых в видегде p- пробегает простые числа, m- натуральные число. В данной работе рассматривается анолагичная задача на случай, когда представимые числа принадлежат арифметической прогрессии по заданному модулю k. Кроме того полечены достаточные условия для того, чтобы числа некоторых арифметической прогрессии представимые виде, имели нулевую асимптотическую плотность.

The problem about representation of natural numbers is considered at ought to the set class of deductions on some module and representable in a kind u+v where u and v members of two set sequences of natural mumbers. In 1934 N.P.Romanow has proved the theorem of positive density of sets of natural numbers representable in a kind p+a^m where r-runs simple numbers, m-natural numbers, and ≥2 the set integer. In the given work the similar problem on a case when representable numbers belong to an arithmetic progression on the set module to is considered. Besides sufficiens are treated that numbers of some arithmetic progressions representable in a kind p+a^m had zero asymptotic density.

Пусть - число натуральных чисел представимых в форме и не превосходящих ,

где - показатель числа по модулю ,

,

с(k,l,a)- плотность множеств натуральных чисел в арифметических прогрессиях, представимых в виде .

После несложных рассуждений получаем

В связи с этим представляет интерес исследование вопроса о положительности суммы

Введём функцию (число решений сравнения ) как известно, мультипликативна при ( - простое число ) имеем:

Поэтому

Отсюда видно, что если четно / поскольку мы предполагаем существование первообразного корня по модулю , это означает, что , где - нечетное простое число, - целое /, а - нечетно, то Таким образом справедлива.

Теорема. Если , где - нечетное простое число, - целое, то во всех классах вычетов, порожденных нечетными числами, множество чисел вида , где - первообразный корень по имеет нулевую асимптотическую плотность; во всех остальных классах вычетов по плотность чисел вида положительно.

Литература:

1. Romanov N.P. Uber einige Sartze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann.109 (1934).668-678.
2. Selberg S. A generalization of a theorem of Romanoff, Kong. Norse vid.Selsc. For handl. 35, 17 (1962), с.91-95

3. Фaйнлейб А.С., Оразов М. Бинарные аддитивные задачи с показательной функцией. Литовский математический сборник. 1978.№4. с.187-198.