Теорема Карамата и её применение в аддитивных задачах

Пусть U u V две последовательности натуральных чисел, и их подсчитывающие функции. Введем обозначение

Доказывается, что при наличии достаточно хорошей оценки M_U(x) асимптотическая плотность суммы последовательностей U u V определяется асимптотикой свертки.

Let the u and v are two sequences of natural numbers, where N_u (x) and N_v (x) are their calculating functions. Let us introduce the notation

It is proved that while presence of sufficient positive estimate M_u (x) the asymptotic density of the sum of sequences of u and v is defined by asymptotic compression

Теорема. (Карамата [2]). Пусть f(t) &#;неубывающая функция, определенная для всех t &#; 0, f(0) = 0, , причем интеграл сходится при s > 0. Тогда, если по крайней мере одна из функций f(t) или &#; правильно меняющаяся функция порядка &#; (в смысле Карамата), то при

.

Лемма 1. Пусть f(t) и g(t) &#; неубывающие правильно меняющиеся функции порядков соответственно &#; и &#;. Тогда при

Доказательство. Положим ; функция h(t) неубывающая, так как и .

Согласно теореме Карамата [2], при

,

откуда следует, что &#; правильно меняющаяся функция порядка &#;+&#;. Вторично применяя теорему Карамата [2], получаем

Пусть U и V две возрастающие последовательности натуральных чисел, и &#; их подсчитывающие функции. Введем обозначение

Теорема 1. Имеют место соотношения:

; (1)

, (2)

где .

Доказательство. Применим неравенство Романова-Эрдеша к множеству целых точек (u,&#;), где . Тогда

(3)

и (4)

Так как , то отсюда следует

.

Заменяя P ,R полученными для них выражениями, получаем формулы (1), (2).

Теорема 1. показывает, что при наличии достаточно хорошей оценки M_U(x) асимптотическая плотность суммы последовательностей U и V определяется асимптотикой свертки

Большинство последовательностей, рассматриваемых в аддитивной теории чисел, обладает правильно меняющимися подсчитывающими функциями. В этой ситуации из теоремы 1. следует

Теорема.2. Если и &#; правильно меняющиеся функции порядков соответственно &#; и &#;, причем

, (5)

то при

. (6)

Доказательство. По лемме 1. в условиях теоремы 2.

. (7)

Из условия (5) вытекает

. (8)

Подставляя (7) и (8) в (1) и (2), получаем утверждение теоремы.

Таким образом, если , то справедливость асимптотической формулы (6) обеспечивается уже просто редкостью последовательности V. Арифметическая природа членов этой последовательности не играет никакой роли.

Литература:

1. Шнирельман Л.Г. Об аддитивных свойствах чисел.&#; Изв. Донского политехнического института,1 ч, 1930, 3&#;28.

2. Karamata J. Journal für die reine und angewandt the Mathem. 104 (1931), 27&#;40

3. Барбан М.Б. Метод &#;большего решета&#; и его применения в теории чисел.&#; УМН, 21, 1(1966), 51&#;102

4. Левин Б.В., Файнлейб А.С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел.&#; УМН 22, №3 (35), 1967, 119&#;128.