Оценки снизу для числа представлений в задачах аддитивной теории чисел

В работе рассматривается задача о представлений натурального числа в виде суммы членов двух заданных последовательностей U u V, одно из которых является достаточно редкой. В широком классе задач число представлений натурального числа в виде суммы () принимает лишь значение 0 и 1. Несмотря на это, в данной работе доказано, что число представлений не является ограниченным во многих из таких задач.

In the work the following problem is considered about notation of the natural number in the form of the sum of the members of two preset sequences u and v, one of them is quite rare. In the wide class of problems the represent able number of the natural number in the form of the sum of u+ v, () takes only the value of 0 and 1. In addition in the present work it is proved that the represent able number is not a limited one in the many problems like that.

Число представлений натурального числа в виде суммы членов двух последовательностей, одна из которых является достаточно редкой, для большинства натуральных чисел в широком классе задач принимает лишь значение 0 и 1. Несмотря на это, как будет показано в данной работе, число представлений не является ограниченным во многих из таких задач. Мы получили здесь &#; теоремы для числа представлений, дающие нижние оценки максимального порядка роста этого числа.

Лемма 1. Пусть и &#; произвольные последовательности натуральных чисел, , где &#; заданное целое число, , &#; целое число, взаимно простое с а,

Тогда имеет место неравенство:

Доказательство. Имеем (1)

С другой стороны,

(2)

так как при . Сопоставляя (1) и (2.), получаем утверждение леммы.

Теорема 1. Пусть &#; целое число, &#; произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел, . Тогда при справедливо неравенство:

Приведём несколько следствия теоремы

Следствие 1. Если , , то число решений уравнения не ограничено по .

Следствие 2.

.

Действительно, положим в теореме 1. и возьмем в качестве последовательность простых чисел. Тогда согласно теореме 1

. (3)

Следствие 3.

.

Действительно, полагая в теореме 1. и беря в качестве последовательность чисел имеющих ровно два простых делителя с учетом кратности, получаем

Отсюда, так же, как и выше, следует наше утверждение.

Литература:

1. Romanow N.P. Über limge satze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann., 109 (1934) , 669&#;678.

2. Selberg S.Note on the distribution of the interes . Math. Naturwid., 50, 2(1949), 65&#;69.