О некоторых задачах теории мультипликативных функций

Работа посвящена задачам, где изучается асимптотическое поведение суммы значений мультипликативных функций. Устанавливается связь между такими суммами по простым числам и натуральным числам. Результаты, полученные в работе, основаны на исследовании аналитических свойств указанных сумм и имеют приложения в теории свободных нормированных полугрупп.

Work is devoted problems where it is studied асимптотическое behavior of the sum of values of multiplicative functions. Connection between such sums on simple numbers and natural numbers is established. The results received in work, are based on research of analytical properties of the specified sums and have appendices in the theory free normative semi groups.

Пусть и − неотрицательные мультипликативные функции. Определим функции и следующим образом:

,

( −простые числа, − натуральные числа). Введем обозначения;

Учитывая определения функции и , имеем

;

Откуда

Предположим, что ряд сходится в полуплоскости .

Начиная с этого момента, мы предполагаем также, что для всех натуральных . Так как все члены ряда

неотрицательные числа, то отсюда следует, что ряд для

(а следовательно и ряд для ) при сходится абсолютно. Доказывается следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть и − неотрицательные мультипликативные функции, причем для всех .

, , ,

Тогда если ряды

и

сходятся и , для всех , то

Рассмотрим несколько следствий теоремы 1.

Следствие 1. Пусть &#; неотрицательная мультипликативная функция , , .

Если ряды и

сходятся и для всех простых ,

то

.

В частности, этим условиям удовлетворяет функция . Поэтому отсюда следует закон простых чисел.

Следствие 2. Пусть &#; мультипликативная функция, для всех неотрицательных .

, , .

Тогда если ряды

и

сходятся и

для всех простых ,

то

.

Теорема 2. Пусть и − неотрицательные, вполне мультипликативные функции, при всех простых .

, , , (1)

Тогда если ряд

сходится, то

.

Теорема 3. Пусть и − неотрицательные мультипликативные функции, для всех простых и выполнено условие (1).

Тогда

.

Литература:

1. Файнлейб А.С. Некоторые асимптотические формулы для сумм мультипликативных функций и их приложения.&#; Литовский матем. сборник, 7, №13, 1967, 535-545.

2. Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&#; ОНТИ, 1936.

3. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана.&#; ИЛ, 1953.