Об одном методе решения задачи нестационарной теплопроводности шара с разрывными граничными условиями

На практике тела шаровидной формы часто используются в качестве элементов

различных конструкций и механизмов (например, в гидравлических затворах больших диаметров, в поплавковых камерах и т.д.). При этом они нередко работают в тяжёлых тепловых режимах, обусловленных различием граничных условий на отдельных участках поверхностей. Это требует изучения таких проблем теплопроводности, в математической постановке которых содержатся нестационарности параметров, разрывы и т.д.

Рассматривается задача нестационарной теплопроводности полого ортотропного шара с внутренним и внешним радиусами и , в предположении, что материал рассматриваемого шара по теплофизическим свойствам ортотропен и главные направления теплопроводности совпадают с главными геометрическими направлениями.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для ортотропного по теплофизическим свойствам шара [1], начальное и граничные условия условия для рассматриваемого случая запишутся в виде

, (1)

при . (2)

при ,

, (3)

где ; ; ;; ; ; .

Здесь: и – безразмерная температурная функция и безразмерное время ; – безразмерные пространственные координаты ; и – положительные постоянные коэффициенты; – заданная функция ; и – коэффициенты теплопроводности соответственно в радиальном и меридиональном направлениях ; и – полярные расстояния параллелей, разделяющих области задания граничных условий соответственно на внешней и внутренней поверхностях ; и – соответственно плотность и удельная теплоёмкость материала шара.

Решение уравнения (1) можно представить в виде [2]

, (4)

где и – постоянные коэффициенты; – постоянная разделения ; и – соответственно функция Бесселя первого рода и функция Неймана порядка m; – полиномы Лежандра; .

Удовлетворив граничным условиям (3), воспользовавшись рекуррентными формулами для цилиндрических функций и введя обозначения

, (5)

после некоторых преобразований получим

,

. (6)

Парные ряды – уравнения вида (6) исследованы в работе [3] . Воспользовавшись результатами этих исследований и учтя, что неизвестные коэффициенты входят также и в функцию , для их определения получим бесконечную однородную систему линейных алгебраических уравнений

, (7)

где ;

; ;

; ;

;

; ; .

Условием существования ненулевого решения системы (7) является равенство нулю её определителя

(8)

Таким образом, удовлетворив однородным смешанным граничным условиям, для определения собственных значений краевой задачи получаем трансцендентное уравнение (8).

Показано, что определитель системы (7) является нормальным [4]. Вследствие этого, взамен (8) будем иметь

. (9)

Здесь равен : 1) если , ;

2) если, ; 3) если, ; 4) если , ; 5) , если ; 6) , если .

Заметим, что определитель (9) системы содержит по 2N строк и столбцов. При этом число N должно быть выбрано таким, чтобы обеспечить получение решения краевой задачи с наперёд заданной точностью.

В силу (9), входящие в конечную систему все неизвестные коэффициенты могут быть определены с точностью до какого-либо коэффициента посредством формулы

= , (10)

где = ; .

Здесь определитель получается из отбрасыванием s-ого столбца и некоторой j-ой строки, а определитель (или ) получается из заменой k-ого (или ) столбца ранее отброшенным s – м столбцом.

C учётом (10) и (4), получим

, (11)

где – коэффициенты, подлежащие определению из начального условия (2) ;

; ;

.

Рассматриваемая нестационарная задача со смешанными граничными условиями является самосопряжённой и полностью определённой, а следовательно, собственные значения действительны и положительны [5]. Условие ортогональности собственных функций, получаемое из самосопряжённости краевой задачи, имеет вид

при . (12)

Удовлетворив начальному условию (2), с учётом (12), неизвестные коэффициенты определим по формуле

.

Здесь : ; .

Заметим, что решение задачи для случая сплошного шара может быть получено из вышеизложенных результатов путём предельного перехода .

Нахождение неизвестных коэффициентов , а также собственных значений, требует доказательства квази – вполне регулярности [4] системы (7). Для этого необходимо вычислить сумму модулей коэффициентов при неизвестных

, .

Воспользовавшись асимптотическими формулами для функций Бесселя и Неймана при больших значениях индекса (когда аргумент меньше индекса, но больше нуля) [6], получим

, ,

, . (13)

Таким образом, при любых конечных значениях отношения ,

и , начиная с некоторого номера , при возрастании индекса остаются ограниченными и стремятся к нулю при .

В разложении ограничившись первым членом разложения и, учитывая (13), с использованием мажорантного ряда получим : .

Это даёт основание утверждать, что начиная с некоторого номера имеет место неравенство .

Таким образом, система (7) квази – вполне регулярна, а её определитель является нормальным, при этом значение зависит как от теплофизических параметров материала, так и геометрии шара.

Анализ рассмотренных числовых примеров показал, что независимо от значений параметров задачи при малых толщинах шара во всех сечениях закон распределения температуры вдоль радиуса достаточно близок к линейному, в то время как по мере увеличения толщины появляется существенная нелинейность. Так, например, в одних сечениях аппроксимация температурной функции линейной функцией может обусловить погрешность порядка 30%, а в других – может привести к качественно искажённой картине распределения температуры. С увеличением толщины стенки шара и уменьшением коэффициента теплопроводности в радиальном направлении существенно изменяется не только величина, но и направление теплового потока в стенке шара. Выполненные расчёты показали также, что анизотропия теплофизических свойств и смешанные граничные условия могут внести значительные изменения в картину распределения температуры.

Литература:

1. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1978. – 328 с.

2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: 1979. – 286с.

3. Баблоян А.А. Решение некоторых парных уравнений. ДАН Арм.ССР, 1964, т.39, №3, С. 149 – 157.

4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. – М. – Л.: Физматгиз, 1962. – 695с.

5. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. – М.: Наука, 1968. – 504 с.

6. Ватсон Г.Н. Теория Бесселевых функций. – М.: ИИЛ, 1969. – 798с.