Математические модели поверхностных гравитационных волн в водоеме

Поставлены и решены начально-краевые задачи поверхностных гравитационных волн в узком непризматическом водоеме, как для одномерного модели, когда используется теория «мелкой воды», так и в случаях глубокого водоема (270–300 м). Поверхностные гравитационные волны образуются в результате вторжения в заполненный водоем обвально-оползневого массива горной породы или селевых и лавинообразных потоков. Для одномерной модели предложен численный — конечно-разностный метод решения.

Ключевые слова: поверхностные волны, узкий непризматический водоем, начально-краевая задача, конечно-разностный метод.

Волны на воде — один из видов волн, возникающих на поверхности раздела между жидкостью и газом или жидкостью и жидкостью. Волны в жидкости могут возникать в результате самых разнообразных внешних воздействий: ветра (ветровые волны), движения твердого тела по поверхности или вблизи поверхности (корабельные волны), притяжения Солнца и Луны (приливные волны), землетрясений (волны цунами, звуковые волны) и др. Большинство волн относится к гравитационным: они возникают в результате взаимодействия сил тяжести и сил инерции. Пусть под действием той или иной внешней причины поверхность воды отклоняется от равновесного положения, а затем сила, вызвавшая отклонение, перестает действовать. Под действием силы тяжести возмущенная поверхность воды будет возвращаться в прежнее положение, дойдя до которого, приобретет некоторую скорость, так что по инерции пройдет равновесное положение — начнется колебательное движение, такие образующиеся волны называются гравитационными. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Поверхностные волны выделены в отдельную группу, т. к., по словам Р.Фейнмана, «...эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет, здесь собраны все трудности, какие могут быть в волнах» [1]. При исследовании задач теории поверхностных волн возникают трудности, связанные с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которые в свою очередь, также являются неизвестными функциями и подлежит определению.

Идея применения дифференциальных уравнений непосредственно для решения задач о гравитационных волнах, являющихся одной из форм неустановившегося движения воды, не является новой. Теоретические основы гидравлического моделирования были заложены еще в XIX веке. Следующим этапом были 30–40 годы XX века, которые характеризовались широким применением физических моделей для решения инженерных задач гидравлики открытых стоков. В 60–70 годы XX века в ходе работы над методами расчета неустановившихся течений в системах открытых русел ученые Института гидродинамики СО АН СССР получили различные результаты, касающиеся образования гравитационных волн в горных водоемах в случае оползней, обвалов и поступлений потоков лавинного характера. В настоящее время проблема образования гравитационных волн находится в направлении развития численных методов математического моделирования природных и антропогенных катастроф, основанном на использовании современных вычислительных машин.

Одномерная модель поверхностных гравитационных волн в узком непризматическом водоеме.

В качестве узкого непризматического водоема выберем горное водохранилище.

В прямоугольной системе координат  часть пространства, ограниченная условиями  и заполненная водой, представляет горное водохранилище, имеющее непризматическое очертание в плане и с переменной в продольном направлении глубиной . В створе  расположена плотина,  представляет переменную ширину водохранилища.

Волновое движение воды, вызванное тем, что с берега  в водохранилище вторгся обвально-оползневый массив или поток селевого, либо лавинного характера, описывается следующим уравнением

где  — потенциал средней по ширине водоема (водохранилища),  — ширина каньона,  — глубина воды в водохранилище при невозмущенном состоянии.

Начальные и граничные условия для рассматриваемой задачи запишутся следующим образом:

где  — скорость вторжения.

Таким образом, модель представляет начально-краевую задачу для дифференциальных уравнений теории «мелкой воды» [2].

Метод решения

Для расчета амплитуды образуемой поверхностной гравитационной волны при вторжении в водохранилище обвально-оползневых масс, селевых и лавиноподобных потоков используется конечно-разностный метод (работы Туаевой Ж. Д., Гавурина М. К. и других авторов), который аппроксимирует вышеприведенное уравнение с порядком , где  — шаги сетки по направлениям  и  соответственно. Получаемая схема является явной; устойчивость соблюдается при выполнении условия, которое представляет собой ограничение на шаги пространственной и временной координате:

Если же водохранилище является глубоким (270–300 м), то модель описывается следующей начально-краевой задачей математической физики, которая моделируют волновое движение воды в узко-глубоком непризматическом водохранилище, когда волны образуются в результате вторжения в водохранилище обвально-оползневого массива, либо селелавинообразного потока. Предположим, что в прямоугольной системе координат часть пространства, ограниченная условиями    представляет узкое глубокое непризматическое водохранилище, расположенное в горном районе. Ось  направлена вертикально вверх, ось  направлена в продольном, а ось  — в поперечном направлении водохранилища. – длина, – ширина, – глубина водохранилища. Как правило, в горных условиях водохранилища строятся в узких глубоких каньонах ущелий рек. В связи с этим в дальнейшем будем считать, что ширина водохранилища  намного меньше, чем ее длина. Кроме этого будем считать, что градиенты в поперечном направлении поля скоростей и гидродинамического давления намного меньше, чем градиенты в продольном и вертикальном направлении водохранилища. Ширина схематизированного водохранилища зависит от продольной и вертикальной координат, т. е. рассматривается водохранилище с непризматической конфигурацией как в продольном, так и в вертикальном направлении.

Волновое движение воды в узких глубоких непризматических водохранилищах вызванное вторжением обвально-оползневых массивов, либо лавинообразных потоков, описывается дифференциальным уравнением [3,4]

где  — потенциал средней по ширине скорости,  описывает непризматическую конфигурацию водохранилища,  — скорость вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения в водохранилище селелавиннобразного потока.

В теории Коши-Пуассона потенциал скорости удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа. Здесь дополнительно появляются три члена, из которых два последних члена левой части связаны непризматическим очертанием водоема (водохранилища). Правая часть связана со скоростью вторжения в водоем обвально-оползневого массива или потока селевого либо лавинного характера.

Данное дифференциальное уравнение дает возможность решить широкий круг задач, связанных с волновым движением идеальной несжимаемой жидкости в узких непризматических водоемах.

Начальные и граничные условия

Коэффициенты уравнения являются переменными, и это создает большие математические трудности при попытке аналитического решения поставленной начально-краевой задачи.

Метод решения

Вначале принимаются предположения, которые упрощают решение начально-краевой задачи, так полагают, что уравнение аппроксимируется экспоненциальной функцией. После чего вводятся дифференциальные операторы и последовательно применяются интегральное преобразование Лапласа по времени  и разложение в ряды Фурье по переменной  в интервале . Далее используется обратный ход.

Уравнение волновой поверхности получается дифференцированием потенциала по времени

Численные расчеты

Были получены расчетные выражения, которые легко реализуется на ЭВМ. Результаты численных экспериментов позволяют определить амплитуды образованных волн в узком глубоком водоеме (водохранилище) в зависимости от геометрических габаритов водоема и от кинематических и динамических характеристик вторгшегося селелавинообразного потока, либо обвально-оползневого массива. На рисунках 1 и 2 представлены образовавшиеся поверхностные волны в случае вторжения оползня, обвала горной породы или потоков лавинного характера в водоем.

Рис. 1, 2. Образованные волны после вторжения оползня.

Литература:

1.         Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Вып.4.

2.         Музаев И. Д., Туаева Ж. Д. Физико-математическое моделирование гравитационных волн в горных водохранилищах, генерированных обвально-оползневыми явлениями или вторжением потоков селевого либо лавинного характера // Вестник международной академии наук экологии и безопасности жизнедеятельности. — 1999. — № 8.- С.19–24.

3.         Музаев И. Д., Созанов В. Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши-Пуассона в узко-глубоких непризматических водоемах // Изв.вузов, Сев.-Кав. регион. Сер. Ест. науки.-Ростов-на-Дону, 1995. — № 3 –С.40–43.

4.         Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. — М.: Мир, 1981. — 598с.