Разрушение бетонных оболочек взрывом

Нахождение условий гарантированного разрушения оболочечных конструкций является актуальной научно-технической проблемой при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений, при определении технических условий специальных складов боеприпасов и др. Важно определить форму и величину заряда взрывчатого вещества (ВВ), при взрыве которого на некотором расстоянии от оболочечной конструкции, гарантированно произойдет её разрушение. Под разрушением понимаем потерю несущей способности оболочки вследствие появления в ней трещин, сколов, разделений на фрагменты.

Физическая модель (основные допущения)

Рассмотрим задачу о нахождении необходимой массы С заряда ВВ для гарантированного разрушения открытой цилиндрической оболочки (рисунок 1).

Рис. 1. Схема расположения заряда ВВ над оболочкой при взрыве

Оболочка, с размером плана 2а×2b, выполнена из упругого материала (бетон), имеет постоянную толщину h, радиус кривизны R и защемлена по всему своему контуру в идеальных (недеформируемых) опорах. Оболочка принимается тонкой и пологой, т. е.  [2] и  [7] соответственно. Материал оболочки предполагается однородным и изотропным. Рассматривается упругий режим деформирования вплоть до ее разрушения. Принимаются основные классические гипотезы теории тонких оболочек [2]. Прогибы оболочки предполагаются малыми, т. е. не превышающими 1/5 ее толщины. На расстоянии h_Zот срединного слоя оболочки, над центром симметрии плана, располагается сосредоточенный сферический заряд ВВ радиуса r₀, тип и энергетические характеристики которого определяются обобщенным параметром А₀.

В качестве ВВ рассматривается литой тротил с плотностью ρ₀ = 1630 кг/м³ и А₀ = 400 м/с [3]. Рассматривается ближняя область действия взрыва  [3], для которой давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением продуктов взрыва. Вследствие кратковременности действия взрывной нагрузки (время её действия не превышает 2×10–⁴ с) начальными смещениями точек оболочки, за время действия нагрузки, можно пренебречь [6].

Математическая модель и решение задачи

Введем прямоугольную декартову систему координат Oxyz с началом в центре симметрии плана оболочки (рисунок 1). Обозначим δ — стрелу подъема оболочки над планом, , О₁ — центр кривизны, 2θ — угол, определяющий длину дуги цилиндрической оболочки радиуса R.

Геометрические и механические параметры оболочки: a = 1 м, b = 0.75 м, R = 3 м, h = 4·10–² м, δ = 0.095м, плотность бетона ρ = 2.2·10³ кг/м³, коэффициент Пуассона μ = 0.13, модуль Юнга Е = 3·10¹⁰ Па, цилиндрическая жесткость D = Eh³/ [12(1-µ²)], коэффициент однородности на гарантированное разрушение К_0* = 1.5, коэффициент динамичности µ₃ = 1.3, предел прочности на одноосное растяжение σ ^р = 6·10⁶ Па и на сжатие σ ^с = 24·10⁶ Па.

Расстояния h_Z = {0.2, 0.3, 0.4, 0.5} м. Граничные условия соответствуют способу закрепления оболочки — отсутствию по всему контуру прогибов и углов поперечных поворотов сечений:

, , при x = ± a, (1)

, , при y = ± b. (2)

Координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям (1) и (2), возьмем в следующем виде

, . (3)

При относительных расстояниях  удельный импульс i, действующий на оболочку, может быть вычислен, согласно исследованиям Т. М. Саламахина [3, 6], по формуле

, (4)

где r — расстояние от точки М до центра заряда ВВ, φ — угол падения (угол образованный скоростью потока продуктов взрыва с нормалью к поверхности преграды).

Согласно принятым допущениям, деформирование оболочки происходит уже после действия взрывной (импульсной) нагрузки, в течение свободных колебаний, которые описываются уравнением

, (5)

где w_G = w_G (x, y, t) — прогиб произвольной точки M(x, y). Начальные условия для уравнения (5) имеют вид:

w_G (x, y, 0) = 0, (6)

. (7)

Начальные скорости точек оболочки V = i/ρh, с учетом (4), выразятся в виде

. (8)

Функцию прогибов w_G (x, y, t), удовлетворяющую граничным условиям (1) и (2) и учитывая (3), будем искать в виде

w_G (x, y, t) = c₁(t)·f₁(x, y) + c₂(t)·f₂(x, y). (9)

Начальное условие (6) выполняется, если с₁(0) = 0 и с₂(0) = 0. Обозначим  и . Зафиксируем высоту h_Z = 0.2 м. Найдем из (9) выражение  и подставим его в начальное условие (7). Получим невязку F, минимизируя которую аналогично работе [1], придем к соотношениям

, .

Таким образом, полностью находим начальные условия для уравнения (5). Подставляя (9) в (5), так же получаем невязку N(x, y, t). Помножив N(x, y, t) на координатные функции f₁(x, y), f₂(x, y) и проинтегрировав полученные выражение по площади плана оболочки [9], придем к системе уравнений [1], разрешая которые найдем выражения для с₁(t) и с₂(t). Первое амплитудное колебание происходит в момент времени t_* = 0.0006936 c.

Подставим, полученное таким образом, приближенное решение w_G (x, y, t) в выбранный критерий разрушения, предложенный П. П. Баландиным [8], в котором учтем динамический характер действующей нагрузки. Согласно введенным ранее основным гипотезам теории тонких оболочек и динамике внешнего воздействия, этот критерий приводит к соотношению

 (10)

где для срединной поверхности имеем

, , .

Равенство в (10) соответствует пересечению поверхности, определяемой левой частью неравенства (10), плоскостью, определяемой правой частью того же неравенства. Это достигается при массе заряда ВВ С = 42·10–³ кг.

Сравнение скорости V(x, y) из (8), при найденной массе С, со скоростью  приведено на рисунке 2. Отношение максимального прогиба к толщине оболочки, в момент времени t_*, будет равно . Данная величина не превышает 1/5, что соответствует введенной гипотезе малых прогибов.

Массы ВВ, времена t_*, отношения  соответствующие высотам h_Z = {0.3, 0.4, 0.5} м находим аналогичным способом. Результаты данных вычислений приведены в таблице 1.

Рис. 2. Сравнение скоростей V(x, y) и

Таблица 1

Результаты вычислений

hZ = 0.2 м	hZ = 0.3 м	hZ = 0.4 м	hZ = 0.5 м
С, кг	42·10–3	67·10–3	95·10–3	126·10–3
t*, с	0.0006936	0.0006321	0.0005285	0.000501
	0.029	0.028	0.028	0.028

Как видно из таблицы 1, с увеличением расстояния от заряда ВВ до оболочечной конструкции h_Z увеличивается и разница между массами зарядов (67–42=25<28=95–67 и т. д.), что согласуется с точки зрения практики.

Литература:

1.                  Володин Г. Т., Новиков А. С. Метод Б. Г. Галеркина в задачах гарантированного разрушения оболочечных конструкций взрывом // Materiály IX mezinárodní védecko-praktická conference «Aplikované védecké novinky — 2013». Díl 12. Praha: Publishing House «Education and Science» s.r.o, 2013. — p. 28–35.

2.                  Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: ГСИСП, 1962. — 432 с.

3.                  Саламахин Т. М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. — 255 с.

4.                  Володин Г. Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Часть 2. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. — 160 с.

5.                  Володин Г. Т. Прямой вариационный метод исследования взрывостойкости и гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой // Вестник Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Вып. 1. — 2009. — С. 49–54.

6.                  Саламахин Т. М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. — 275 с.

7.                  Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963. — 278 с.

8.                  Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. — 191 с.

9.                  Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. — 347 с.