Численный анализ квазилиннейных уравнений в модели излучения

Рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа с ниленейной зависимостью характеристических направлений от неизвестных функций. Первые части этих уравнений также нелинейны относительно неизвестных решений. Кроме тогоони имеют особенность в пространстве независимых переменных. Эти уравнениях описывают явление излучения гравитации. Численное решение этих уравнений дает сингулярное поведение решения, которое прогнозирует те или иные физические явления.

Основным свойством квазилинейных гиперболических уравнений является образование разрывов по типу ударной волны из-за нелинейной зависимости характеристических направлений от неизвестных решений (см., например, [1]). К таким уравнениям сводится модель излучения точечного источника гравитации [2]. Следует заметить, что разрывы возникают при определенных типах начальных условий. Кроме того, в правых частях дифференциальных уравнений имеется нерегулярность на некоторых кривых в пространстве независимых перепенных. Численное решение указанных уравнений по методу характеристик демонстрирует все возможные сингулярные решения в зависимости от входящих параметров и от вида начальных условий.

Уравнения геодезических.

Уравнения геодезических в псевдоримановом пространстве имеют вид

                                                                                            (1)

где  — символы Кристоффеля. Для нахождения уравнений геодезических используем Лагранжев формализм. Для построения лагранжиана L используем метрику сферически симметричного пространства, имеющую вид относительно обобщенной сферически симметричной системы координат  .

где

функции  являются решениями уравнения

где  — тензор Риччи.

В качестве Лагранжиана используем выражение

                                                                      (2)

где  Из определения Лагранжиана следует, что .

Выпишем уравнения Эйлера-Лагранжа

относительно лагранжиана (2).

Уравнения Эйлера-Лагранжа принимают следующий вид:

                                  (3)

Это и есть искомые уравнения вида (1). Второе и третье уравнения системы (3) можно проинтегрировать непосредственно, в результате чего получаем:

                                                             (4)

где  — произвольные постоянные.

Воспользовавшись тем, что лагранжиан L, определяемый соотношением (2), равен единице, находим, используя соотношение (4),

Будем искать  и , входящие в систему уравнений (3), в виде

тогда первое и четверное уравнения системы (3) принимают следующий вид

                                                                   (5)

где

Система (5) может быть представлена в виде

                                   (6)

Исследование дифференциального уравнения

Рассмотрим уравнение

                          (7)

Для удобства сделаем замену:

Поделим уравнение на  и выпишем характеристическую систему:

                                                                       (8)

Уравнение (7) можно формально представить в виде:

последнее является более общим случаем, так называемого, уравнения Хопфа (см. например [1]). Решение этого уравнения при различных линейных начальных условиях подробно описано в [1]. При линейных начальных условиях возможно, образование разрывов (аналог ударной волны) или всюду регулярное решение (по типу волны разрежения). Отметим также, что правая часть в (9) становится нерегулярной при , то есть при

                                                                                                   (9)

Будем говорить, что (9) задает кривую вырождения. Численные решения (8) по методу характеристик (см. например [1]) приводит к следующим результатам. При  для широкого набора начальных условий не обнаруживается бесконечных производных по типу ударной волны. Решение становится неограниченным из-за того, что правая часть является бесконечной при приближении к кривой вырождения. Другими словами, характеристические кривые выходят на линию, где . При противоположном знаке  картина поведения решения меняется. В частности берем  на отрезках [1,10] и [11,20]. Кривую вырождения характеристики не пересекают. Решения ведут себя по типу волны разрежения. Для первого начального условия характеристические кривые пересекают ось , где . Здесь решение стремится к бесконечности.

Для противоположного по монотонности начального значения , заданного на отрезке [44,86] получено пересечение характеристик при конечном времени («градиентная катастрофа» по типу ударной волны). Если начальные условия берутся на отрезке [1,10] и [11,20], то характеристики не пересекают кривую вырождения, картина качественно такая же, как и при условии .

В других моделях из этой области, при замене  уравнения выглядит так

Решение этой системы имеет вид

Оно является регулярным для любых .

И так, в моделяхнаблюдаются разрывные решения, а также возможность неограниченности.

С другой стороны возможны случаи, когда решения являются регулярными во всем пространстве независимых переменных.

Литература:

1.                                            Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978, стр 76–78.

2.                                            Башлыков А. М., Попов Н. Н., Цурков В. И. Решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, встречающихся в задаче излучающего точечного источника гравитации // ЖВМиМФ. 2012. V.52. N.7. P.1294–1303.