Методическая разработка по математике. Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств»



Данное учебно-методическое пособие содержит материал, расширяющий границы учебника, а также дополнительные сведения, необходимые для учащихся и учителя в их совместной деятельности. Особое место отводится методическим рекомендациям по изучению решения уравнений и неравенств данной темы, даются указания по работе с ними (алгоритм) и решения наиболее трудных из них с подробной записью преобразований. Изложение материала ведется с соблюдением примерного планирования учебного материала. Включены задания для самостоятельного решения.

Цели:

− Главная цель — развить навык в решении показательных уравнений и неравенств, предусмотренных уровнем обязательной подготовки.

− Увеличить объём умений и навыков за счёт упражнений «нового» типа.

− Продемонстрировать образцы логических приёмов для запоминания и воспроизведения учащимися.

− «Вооружить» путями поиска решений для дальнейшей самостоятельной работы, обеспечить эффективную организацию этой работы с учётом индивидуальных способностей и уровня математической подготовки учащихся.

− Активизировать познавательную деятельность учащихся для творческого применения полученных знаний в новых условиях так, чтобы учащиеся смогли обобщить и перенести данные приёмы и алгоритмы на изучение других разделов курса математики.

1. Общий вид показательных уравнений. Характеристика. Теоремы.

Показательными уравнениями называют уравнения вида:a^f(x) = a^g(x) (а^х = а^b), где а > 0, а ≠1, х — неизвестноеиуравнения, сводящиеся к этому виду (неизвестное содержится в показателе степени).

Рассмотрим и решим простейшие показательные уравнения графическим способом:

a) 2^x = 1

b) 2^x = 4

c) 2^x = 8

d) 2^x =

Решение:

a) Построив в одной системе координат графики функций y = 2^x и у = 1, замечаем, что они имеют одну общую точку (0;1).

Значит, уравнение 2^x = 1 имеет единственный корень х=0.

Итак, из уравнения 2^x = 2⁰ мы получили х=0.

b) Построив в одной системе координат графики функций y = 2^x и у = 4, замечаем, что они имеют одну общую точку (2;4).

Значит, уравнение 2^x = 4 имеет единственный корень х=2.

Итак, из уравнения 2^x = 2² получили х=2.

c) и d) Исходя из тех же соображений, делаем вывод (теперь для отыскания корня графики можно и не строить).

2^x = 8 и 2 ^x = , т. к. = =

2^x = 2³ 2^x = 2–⁴

х = 3 х = -4

В основе всех выводов при решении уравнений лежало свойство монотонности (возрастания) функции y = 2^x и теоремы о единственности корня.

В указанной инструкции (самостоятельно) рассмотрите решение уравнений:

a) = 1

b) = 3

c) = 9

d) =

Убедитесь, чторешениями будут следующие числа:

a) х= 0

b) х= -1

c) х= -2

d) х= 2

В данных примерах выводы сделаны на основе свойства монотонности (убывания) функции y = итеоремы о единственности корня. Этот метод решения уравнений называется функционально-графический. Он основан на использовании графических иллюстраций:

1) построить графики функций левой и правой частей уравнения;

2) найти общую точку пересечения графиков.

Убедитесь самостоятельно, что уравнение вида: 2^x = -4 не имеет корней.

Следовательно, мы убедились в справедливости двух теорем:

Теорема 1: Если а > 1, то равенство а^t = а^sсправедливо тогда и только тогда, когдаt=s.

Теорема 2: Если 0 < а < 1, то равенство а^t = а^sсправедливо тогда и только тогда, когдаt=s.

Опираясь на теоремы 1 и 2 мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема: Показательное уравнение a^f(x) = a^g(x) (где а > 0, а≠ 1) равносильно уравнению (x) = g(x).

Приведём примеры:

Пример 1. Решить уравнения:

a) 2^2х-4 = 64

Решение:

Представим 64 как 2⁶, перепишем заданное уравнение в виде:

2^2х-4 = 2⁶

Это уравнение равносильно уравнению

2х— 4 = 6

2х = 6 + 4

2х = 10

х = 5

Ответ: 5

b) =

Решение:

Представим через степень числа :

= = =

получим:

=

Это уравнение равносильно уравнению:

2х— 3,5 = 0,5

2х = 0,5 + 3,5

2х = 4

х = 2

Ответ: 2

_c) =

Решение:

Заданное уравнение равносильно уравнению:

х^2–3х = 3х— 8

Далее имеем:

х^2–3х— 3х + 8 = 0

х^2–6х + 8 = 0

D = b^2–4ac; D = 36–32 = 4

= ; =

= ; =

= ; =

Ответ: 2; 4.

Пример 2. Решить уравнения:

a) = 1

Решение:

Необходимо уравнять основания. Мы знаем, что = 1.

Получаем:

=

+ 2x— 3 = 0

D = 4–4 ∙ 1 ∙ (-3) = 0

= = 1

= = -3

Ответ: -3; 1.

b) 16 ∙ =

Решение:

Так как уравнение содержит корень четной степени, необходимо определить ОДЗ.

ОДЗ: x + 1 ≥ 0

x ≥ -1

Преобразуем левую часть по свойствам степеней:

;

16 ∙ =

Получаем:

Затем:

Решая это иррациональное уравнение, получаем:

x = 0 или

Проверка:

Если x = 0;

116 ∙ =

— равенство неверное;

x = 0 — посторонний корень.

Если x = 24;

16 ∙ =

— равенство верное.

Исходному уравнению удовлетворяет только значение x = 24.

Ответ: 24.

c)

Решение:

В этом уравнении есть возможность и левую и правую части представить в виде степени с основанием 5.

− = =

−

−

Заданное уравнение приобретает вид:

—

x = 5

Ответ: 5.

Этот рассмотренный метод решения показательных уравнений относится к так называемому методу уравнивания показателей. Мы применили этот метод в рассмотрении и решении примеров 1 и 2.

Из других показательных уравнений нужно отметить такие, которые так же приводятся к уравниванию показателей и решение которых сводится к вынесению общего множителя за скобки.

Рассмотрим пример:

Решить уравнение:

Решение:

По свойству степеней имеем

Выносим за скобки общий множитель .

= 16

=

x = 4

Ответ: 4.

И, наконец, на решении двух примеров разного уровня сложности рассмотрим третий из основных методов — метод введения новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

Заметим, что

а

Перепишем заданное уравнение в виде:

Есть смысл ввести новую переменную y=, тогда уравнение примет вид:

Решив квадратное уравнение относительноy, находим его корни:

и

Но y=,значит остается решить два уравнения:

= 4 и = -6

нет корней, т. к. -6 < 0, а > 0 при

x = 2 любых значениях x.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся тем, что:

− = ∙ 5

− =

− =

Получили:

∙ 5–13 ∙ + = 0

Обе части уравнения разделим на ≠ 0, (уравнение однородное, второй степени), это позволит перейти к одному основанию.

5 ∙ — 13 ∙ + 6 ∙ =

5 ∙ - 13 ∙ + 6 = 0

Теперь «появилась» новая переменная t = , относительно которой уравнение имеет вид квадратного уравнения:

5— 13t + 6t = 0

Корнями этого уравнения служат числа:

= и = 2

Решим два уравнения:

1) =

2) = 2

Решим два уравнения:

=

x = -1

Решаем второе уравнение:

= 2. Проблема?

Как представить число 2 в виде некоторой степени числа ?

Решение существует. Забегая вперед, скажем, что корень находится через логарифм. (Вернемся к этому позже).

Покажем единственный корень этого уравнения, применив графическую иллюстрацию. Построим в одной системе координат графики:

y = и y = 2

Ответ: = -1

— корень уравнения = 2

Рассмотрим решение систем показательных уравнений

Для решения необходимо преобразовать уравнения системы к более простому виду.

Преобразуем 1 уравнение:

2∙

По свойству монотонности функции имеем:

1+

2 + x + y = 24x— 8y

23x— 9y = 2

Преобразуем 2 уравнение системы к более простому виду:

Введем новую переменную, т. к. 9 = и

Пусть, 3x + y = t, тогда

D = - 4ac; D = 1 + 288 = 289

Делаем обратную замену:

= 9 и = -8— нет корней

=

x + y = 2— преобразованное второе уравнение.

Решим полученную систему:

32x = 20

x =

x =

Из уравнения ,находим y

+ y = 2

y = 2—

y = 1

Ответ: 1

2. Показательные неравенства.

Теперь переходим к рассмотрению решения показательных неравенств.

Дадим определение: показательными неравенствами называются неравенства вида , где a > 0, a ≠ 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Необходимо пользоваться следующей теоремой:

Показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x), если a > 1 (т. е. знак не меняется, если функция y = — возрастающая. Примеры: y = ; y = ; где 3 > 1 и 1,3 > 1).

Показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла f(x) < g(x), если 0 < a < 1 (т. е. знак неравенства меняется, если функция y = — убывающая. Примеры: y = или y = т. к. 0 < 0,5 < 1; и 0 < < 1).

Пример 1. Решить уравнения:

a)

Т. к. 2 > 1, то функция y = — возрастающая.

Получим:

2x— 4 > 6

2x > 10

x > 5

Ответ: (5; + ∞)

b)

т. к. = =

Перепишем

Т. к. 0 < < 1, то функция y = — убывающая.

2x— 3,5 >

2x > 0,5 + 3,5

2x > 4

x > 2

Ответ: (2; + ∞)

c)

т. к. 0 < 0,5 < 1, то функция y =— убывающая.

т. е.

Получили неравенство второй степени, которое решаем методом интервалов.

Рассмотрим функцию: f(x) =

Нули функции: f(x) = 0

= 0

D = - 4ac; D = 36–32 =4

= = 4

= = 2

f(x) = (x— 2)∙(x— 4)

Определим знаки в каждом из интервалов:

f(0) = (0–2)∙(0–4) > 0

f(3) = (3–2)∙(3–4) < 0

f(5) = (5–2)∙(5–4) > 0

x € (-∞; 2] U [4; +∞)

Ответ: x € (-∞; 2] U [4; +∞)

Пример 2. Рассмотрим решение более сложного неравенства:

По свойству = ∙ 3; введем новую переменную y =

Получим

Решаем методом интервалов:

Рассмотрим функцию f(x) =

Нули функции: f(x) = 0; = 0 → y— 9 = 0, т. о. y = 9

Нули знаменателя

= 0

3y = 1

y =

Применяем метод интервалов.

f(0) = > 0

f(1) = < 0

f(10) = > 0

Находим < y < 9

Возвращаемся к переменной x, получим двойное неравенство

< < 9

< <

т. к. 3 > 1, то функция y = — возрастающая.

—1 < x < 2

Ответ: (-1;2)

Для более полного объема информации решения неравенств, необходимо рассмотреть трансцендентные неравенства, в которых левая и правая части не приводятся к одному основанию. Их можно решить лишь графическим способом, используя иллюстрацию.

Например, решить неравентва:

a) ;

b)

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций y = и y =

y =

x	-1	0	1
y	1/5	1	5

y =

x	0	3
y	6	3

Графики пересеклись в одной точке (1; 5)

Абсцисса точки пересечения является единственным корнем уравнения

Нас интересует решение неравенства

По иллюстрации график показательной функции y = лежит выше прямой y = , если > 1 (хорошо видно из рисунка).

Значит, решение неравенства можно записать так: x ≥ 1

Ответ: [1;+∞)

б)

График y = ниже y = при x < 1

Ответ: (-∞; 1)

Итак, обобщим полученный опыт в решении уравнений и неравенств через алгоритмы.

1. Общий вид стандартного показательного уравнения:

2. Приведение к одному основанию:

1)

2)

3) x = c

3. Графический:

1)

2) Найти абсциссы (x) точек пересечения.

3) Ответ.

4. Вынесение за скобку степени с наименьшим показателем:

1) Вынести степень за скобку (;

2) Вычислить числовое значение в скобках (?);

3) Разделить обе части на (?);

4) Прийти ;

5) Решить (см. выше);

6) Получить ответ.

5. Приведение к квадратному уравнению:

1) Записать в виде:

A + B + C = 0

2) Обозначить = t

3) Решить квадратное уравнение A + Bt + C = 0

4)

5) Решить стандартные уравнения

6) Ответ.

Для закрепления, анализа и самопроверки предлагаются следующие задания (алгоритм решения смотри выше).

Задания предлагаются для двух вариантов

1. Какие из перечисленных ниже неравенств будут верными, если:

I ВариантII Вариант

a > 1 0 < a < 1

a)

b)

c)

d)

e)

2. Решить уравнения:

I Вариант

1)

2)

3)

4)

II Вариант

1)

2)

3)

4)

3. Решить уравнения

I Вариант

1)

2)

II Вариант

1)

2)

4. Задания с применением классификации.

Выписать уравнения, решаемые способом приведения к общему основанию, и решить их.

I вариант

1)

2)

3)

4)

(задание повышенной сложности).

II вариант

1)

2)

3)

4)

(задание повышенной сложности)

5. Выписать уравнения, решаемые только графическим способом и решить их.

I вариант

1)

2)

3)

II вариант

1)

2)

3)

Решить остальные уравнения.

6. Решить неравенства:

I вариант

1)

2)

3)

4)

II вариант

1)

2)

3)

4)

Литература:

1. Учебник: «Алгебра и начала анализа 10–11» / А. Г. Мордкович.
2. Учебник: «Алгебра и начала анализа 10–11» / А. Н. Колмогоров.
3. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена 11 кл.» / Г. В. Дорофеев.
4. «Тренировочные задания ЕГЭ» / ЭКСМО / Т. А. Корешкова.
5. «Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ 2006» / Коммерсант / А. Г. Клово.
6. Методические рекомендации по изучению тем «Показательная, логарифмическая, степенная функции» / Н. К. Беденко.