Методические особенности изложения темы «Интегрирование рациональных дробей» в содержании дисциплин «Математика» и «Математический анализ»



Интегрирование дробно-рациональных функций является одной из ключевых тем раздела «Интегральное исчисление». При этом в качестве основного метода решения заданий этой темы, как правило, выступает метод неопределенных коэффициентов. Формирование навыков его применения — важная задача обучения вычислению интегралов, однако сам процесс занимает порой немало времени, является трудоемким. В связи с этим становится затруднительным рассматривать во время занятий достаточное количество разнообразных примеров, особенно связанных с нахождением интегралов иррациональных и трансцендентных функций, большинство из которых сводится к интегрированию дробно-рациональных выражений. Поэтому принципиально важно рассматривать со студентами приемы, рационализирующие интегрирование рациональных дробей, то есть такие способы решения, которые позволяют обойтись без применения метода неопределенных коэффициентов или максимально его упростить.

Выделим некоторые приемы рационализации нахождения интегралов дробно-рациональных функций и продемонстрируем их применение на ряде примеров.

Прием 1. «Выделение в числителе знаменателя».

Суть данного приема заложена в его названии, его применение делает процесс вычисления интегралов менее трудозатратным (особенно когда нахождение интеграла от рациональной дроби является промежуточным действием), при этом у студентов совершенствуются навыки решения.

Пример 1. Найти интеграл .

Для решения можно использовать различные приемы: осуществлять выделение полного квадрата в знаменателе, применять метод неопределенных коэффициентов, но хорошей альтернативой перечисленным способам становится прием «выделения в числителе знаменателя».

Решение: .

В следующем примере для применения указанного приема требуется предварительное разложение знаменателя подынтегрального выражения на линейные множители.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение:

.

Также при интегрировании дробей содержащих в числителях постоянные, а в знаменателях квадратные трехчлены, разлагающиеся на линейные множители, можно вывести и использовать следующую закономерность: «Дробь представима в виде суммы простейших дробей: ».

Например:

.

Эта закономерность применяется для вычисления узкого круга интегралов, однако значительно упрощает процесс решения и позволяет минимизировать время, затрачиваемое на выполнение задания.

Продемонстрируем применение первого приема на других примерах.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение: .

Следующий пример показывает применение первого приема в общем виде, даже если множители знаменателя не являются линейными.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение:

.

Иногда применение обозначенного приема сопряжено с предварительным преобразованием подынтегрального выражения (применение формулы сокращенного умножения в знаменателе).

Пример 5. Найти интеграл .

Решение:

.

Суть этого приема легко усваивается студентами, однако определенных навыков требует действие распознавания ситуации применения приема для интегрирования дробно-рациональных функций. Как правило, на двух-трех заданиях полноценно сформировать это действие не представляется возможным. Поэтому предлагаем при отработке приема рассматривать следующие примеры (особенно важно полноценно изучать всю приведенную цепочку взаимосвязанных заданий со студентами математических специальностей, в частности, с будущими преподавателями математики).

Например. Найти интегралы: ; ; ; .

Прием 2. «Выделение в числителе производной знаменателя».

Этот прием классически применяют для интегрирования простейших дробно-рациональных функций вида , .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение: Производная знаменателя равна , выделяем ее в числителе. После этого представляем исходную дробь в виде алгебраической суммы, при этом в числителе первого слагаемого окажется производная знаменателя, а в знаменателе второй дроби выделяется полный квадрат:

.

В следующем примере для реализации описываемого приема целесообразно предварительно разделить числитель и знаменатель дроби на выражение .

Пример 7. Найти интеграл .

Решение:

.

Следующими примерами предлагаем воспользоваться для отработки навыков применения описываемого приема, в частности ими можно наполнить организацию самостоятельной работы студентов.

Например. Найти интегралы: ; ; ;

[1], [2].

Прием 3. «Сведение к более простым дробям».

Суть этого приема заключается в выполнении действия умножения числителя, с целью распознавания в нем дифференциала выражения, содержащегося в знаменателе. Содержание приема актуально демонстрировать на конкретных примерах. Его применение, как правило, сопряжено с необходимостью использовать предыдущие приемы тоже.

Пример 8. Найти интеграл .

По виду подынтегральной функции становится очевидно, что применение метода неопределенных коэффициентов нерационально.

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби :

— для вычисления полученного интеграла можно применить метод неопределенных коэффициентов, а можно воспользоваться первымприёмом, что окажется значительно рациональней:

.

В следующем примере так же есть необходимость применения третьего приема.

Пример 9. Найти интеграл .

Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби :

.

Для отработки навыков применения третьего приема можно воспользоваться следующим набором заданий.

Например. Найти интегралы: ; ; ; ;

[1], [2].

Применение приемов, описанных в данной статье, значительно рационализируют нахождение интегралов дробно-рациональных функций, сокращают время их решения. Представленные примеры являются методическим набором задачного материала для проведения занятий по теме «Интегрирование рациональных дробей», поэтому содержание статьи вполне может быть использовано для организации как аудиторной, так и самостоятельной работы студентов.

Литература:

1. Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Голович Г. П. Справочное пособие по высшей математике. Т.1. Ч.3: Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл, определенный интеграл. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОН», 2013. — 272 с. (АнтиДемидович)
2. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн.1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Учебн. пособие для университетов, пед. вузов. / Под. ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд., перераб. — М.: Высш. шк. 2000. — 725 с.