Построение стохастической модели планирования основного производственного процесса мелкомбината в условиях неопределенности



Рассматривается один из вариантов построения математической модели планирования производственного процесса в терминах стохастического программирования и получение детерминированного эквивалента в виде выпуклого программирования.

Ключевые слова: производственный процесс, планирование, неполноты информации, стохастическое программирование, детерминированный эквивалент, математическая модель.

В условиях развивающихся рыночных отношений в Узбекистане резко усложнились задачи управления производственными объектами в целом и предприятиями мелькомбината в част­ности. Постоянно изменяющиеся технико-технологические и конструктивные характеристики мукомольного производства, а также возрастающая конкуренция на рынке мучных продукций свидетель­ствуют о том, что наступило время, когда резервы традиционных приемов совершенствования управления производством на предпри­ятиях мукомольного оказались исчерпанными.

Один из перспективных путей решения этих вопросов заключает­ся в повышении эффективности управления производственными объ­ектами на основе использования научно обоснованных методов выра­ботки и принятия решений с применением соответствующего матема­тического аппарата и средств вычислительной техники.

Для решения задач принятия решений применяются различные методы и алгоритмы. Например, Вальд, Гурвиц и Сэвидж предлагают использовать теорию статистических решений и теорию игр. Маршак, Чернов и Рубин, а также Блекуэлл Дю, Гиршик – субъективную веро­ятность. Методы экспертных систем и искусственного интеллекта: Литвак Б.Г., Бешелев C.JL, Гурвич Ф.Г., Евланов Л.Г., Кутузов В.А., Пятковский О.И. Методы нечеткой логики: Усков А.А., Васильев В.И. Имитационное моделирование: Бусленко Н.П., Багриновский К.А., Форрестер Дж. Методы стохастического программирования: Юдин Д.Б., Песиков Э.Б., Юсупбеков Н.Р., Бекмурадов Т.Ф., Гулямов Ш.М., Игамбердиев Х.З., и другие.

Большинство методов, применяемых для поддержки принятия решений, малопригодны в условиях реального процесса планирования производства на предприятиях переработки зерна в связи со спецификой производства. Поэтому актуальной является задача адап­тации существующих методов и формирование новых алгоритмов для поддержки принятия решений с учетом специфики планирования про­изводства мучных продуктов. Внедрение в практику оперативного управления производством мучных продуктов системы под­держки принятия решений с использованием экономико-математи­ческих моделей и алгоритмов на сегодняшний день приобретает осо­бое значение и определяется на верхних эшелонах управления пред­приятиями как одно из приоритетных направлений автоматизации оперативного управления основным производством.

При реалистической постановке задачи планирования производства недопустимо ориентироваться на средние значения располагаемых ресурсов, полученные, например, путем статистической обработки данных о фактических объемах ресурсов в предшествующие периоды времени. Подобное планирование связано с недопустимо высоким риском невыполнения плана. Планирование затрат и выпуска должно ориентироваться на сниженные уровни располагаемых ресурсов. При стремлении к гарантированному результату можно строить планирование, ориентируясь на минимальный уровень располагаемых ресурсов и предельно высокие значения затрат ресурсов. Однако такой подход является полностью лишенным риска и не эффективным, т.к. наихудшая реализация технологических процессов и крайне неудовлетворительное обеспечение ресурсами является мало вероятными событиями. Более рациональным является подход, основанный на введении в ограничения гарантированных с заданными вероятностями нижних уровней располагаемых ресурсов.

В данной работе предлагается использовать методы СП для оптимизации производственной программы мукомольного предприятия в условиях неполной информации об уровнях наличных ресурсов [1,2].

Постановка задачи. Оптимизационная модель, сформулированная в терминах одноэтапной модели СП с вероятностным ограничением, содержит: управляющие переменные – объемы выпуска конечных продуктов по модификациям: систему ограничений, описывающую условия функционирования мукомольного предприятия – обеспеченность лимитирующими производственными ингредиентами, удовлетворение спроса на продукцию. Выполнение директивных значений основных технико-экономических показателей, целевые функции – максимизация (минимизация) некоторого технико-экономического показателя (прибыль, товарная продукция, себестоимость и т. п).

Под допустимым планом понимается такой план (детерминированный – вектор управляющих переменных), для которого вероятность выполнения всех ограничений по лимитирующим ресурсам была бы не меньше заданной величины . По существу – это вероятность выполнения плана, так как факт выполнения плана зависит от обеспеченности ресурсами.

Задача объемного планирования заключается в определении в целом за плановый период (год) таких значений управляющих переменных, которые удовлетворяли бы с заданной вероятностью система ограничений и при этом доставляли экстремум функционалу, реализующему цель управления.

Сформулируем задачу расчета оптимального плана с ограничением по ресурсам в вероятностной форме:

найти (1)

при условиях: (2)

0<β≤1, (3)

где x={x_j} (jJ) – детерминированный вектор объемов выпуска x_j продукта j;

c_j – технико-экономический показатель единицы продукта j;

a_ij – норма расхода ресурса i на единицу продукта j;

I – множество индексов i ресурсов;

J -множество индексов j конечных продуктов;

b_i -уровень наличных ресурсов i в плановом периоде (случайная величина);

β – заданный уровень вероятности выполнения системы ограничений.

Ограничения вида , где – соответственно нижняя и верхняя границы объема выпуска x_j продукта j, предлагаются включенными в условие (2). Из условия (2) следует, что оператор вероятности р применяется ко всей системе линейных неравенств с детерминированной матрицей условий и случайным вектором b={b_i}.

При построении модели делается допущение о статической независимости между компонентами b_i вектора b. В качестве возможных функций распределения непрерывных случайных величин b_i могут быть приняты: нормальная, экспотенцианальная, Вей- булла, гамма-функция.

Статистическая проверка гипотез о распределении случайных величин b_i может быть проведена с помощью известных критериев согласия [3].

В случае справедливости нескольких гипотез о виде распределения некоторого компонента b_i вопрос выбора наиболее адекватной статистической модели величины b_i решается экспертно.

Одноэтапная модель СП вида (1) – (3) может быть сведена по методике Чарнса-Купера с уровнем риска (1-β) к детерминированному эквиваленту, относящемуся к классу моделей нелинейного программирования с дополнительными переменными β_i – вероятностями выполнения ограничений по каждому виду ресурса i.

Детерминированный эквивалент имеет вид:

Найти (4).

при условиях

(5 )

(6)

0<β≤1, (7)

где - математическое ожидание случайной величины b_i ;

ϭ_i – среднеквадратическое отклонение случайной величины b_i;

– квантиль порядка β_i;

Π – символ произведения;

Ф(b_i) – функция распределения случайной величины b_i.

При аппроксимации эмпирических распределений величин b_i известными теоретическими распределениями (нормальным, экспоненциальным, вейбулла, гамма – функцией) на основании результатов работы [3] можно сделать вывод о выпуклости допустимых планов задачи (4) – (7). Полученная задача выпуклого программирования может быть решена известными методами, например, методом штрафных функция [1,4]. Из-за сложностей вычислительного характера предлагается упростить модель (4) – (7) путем “расщепления” вероятности β на множество вероятностей β_i и подстановки полученных значений β_i в ограничение (5). Величины β_i определяются экспертно с учетом следующих условий: . По определению величины такая, что . При назначении вероятностей β_i следует принять во внимание степень важности ресурсов i для конкретной производственной ситуации. В этом плане представляет интерес двойственные оценки , позволяющие количественно оценить степень «дефицитности» ресурсов i. Известно, что величины являются частными производными целевой функции f(x) по параметру b_i, вычисленными при оптимальном решении x* задачи ЛП, т.е.

.

Величины , ϭ_i по своей сути являются «страховкой на случайность». То есть при планировании учитывается гарантированный уровень ресурса i.

Величина является нижней границей доверительного интервала для величины b_i, соответствующего заданной вероятности β_i.

При фиксации величины β_i детерминированный эквивалент (4) – (7) переходит в класс моделей линейного программирования (ЛП). Анализ модели ЛП осуществляется модифицированным симплекс-методом с мультипликативным представлением обратной матрицы.

Из-за относительно небольшой размерности (десятки переменных и ограничений) не требуется значительных затрат памяти ЭВМ и времени счета, что существенно упрощает практическую реализацию оптимизационной модели.

Литература:

1. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. – М.: Сов.радио, 1979.- 392с.
2. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. – 352 С.
3. Первозванский А.А. Математические методы в управлении производством. – М.: Наука, 1975. – 616 с.
4. Рахимов Т.Н. и др. Основы построения АСУ/Т.Н. Рахимов, О.А. Заикин, Б.Я. Советов; под общ. ред. Б.Я. Советова. – Т.: Укитувчи, 1984. – 376 с.