Расчет переходных процессов при помощи классического и операторного методов



Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных взаимодействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах цепи, при которых замыкание отдельного участка цепи и т. д [2].

Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрических полей этих элементов не может измениться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы, которые применяются для расчёта переходных процессов: [3]

– Классический метод;

– Операторный метод;

– Метод интеграла Фурье и др.

Наиболее распространёнными являются классический и операторный методы. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчёта простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

Цель нашей работы заключается в реализации классического и операторного методов на примере сложной цепи.

Объектом исследования выступают законы токов от времени.

Предметом исследования являются классический и операторный метод.

Основная часть

1. Классический метод

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения, либо решить систему уравнений известными математическими методами.

Рассмотрим электрическую схему.

Рис. 1. Схема цепи

Она содержит катушку индуктивности с индуктивностью L, конденсатор с емкостью C, источник тока ЭДС E, ключ S, резисторы: R₁, R₂, R_i, R_k.

Составим систему уравнений для случая замыкания цепи и получим:

Остается определить начальные условия для системы. Нам потребуются знания двух законов коммутации [3].

Первый закон коммутации.

В ветви с катушкой индуктивности ток в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

Второй закон коммутации.

Напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

Согласно схеме на рисунке 1, ток на катушке и напряжение на конденсаторе в докоммутационный момент равно нулю. Исходя из этого, начальные условия для нашей системы примут вид:

Решаем систему при помощью Maple 13 и получаем, что ток на катушке имеет следующую зависимость [6]:

Рис. 2. Переходный процесс в коммутируемой RL-RC-цепочке

Вывод:

1) Асимптота

2) При переходном процессе на практике было доказано возникновения сверхтока, что продемонстрировано на рисунке 2.

2. Операторный метод

Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям, что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым [4].

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:

Приведем нашу систему к операторному виду. Для этого, используя определение, а также свойства преобразования Лапласа установим, что:

– для катушки:

– для конденсатора:

– для источника:

Исходя из этого система примет вид:

Исключая четвертое уравнения системы, решим ее относительно параметра p и получим:

При помощи обратного преобразования Римана — Меллина, встроенного в математический пакет, установим, что [6]

Рис. 3. Переходный процесс в коммутируемой RL-RC-цепочке

Вывод:

1. На практике установлено, что операторный метод является проще классического тем, что при его реализации требуется решать систему алгебраических уравнений.

Заключение

В ходе научно — исследовательской работы была решена задача об исследовании изменения тока на катушке в переходных процессах.

В ее основе лежали два метода: классический и операторный. Оба метода широко применимы на практике, однако, второй предпочтен в случаи рассмотрения более сложных цепей.

Переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. А значит, проделанная работа имеет не только теоретическую ценность, но и не малое значение при расчете той или иной конкретной практической задачи.

Реализацию модели можно увидеть в приложение [5].

Приложение

>

>

>

>

>

>

Литература:

1. Костюкова Н.И. Основы математического моделирования. Интернет-Университет Информационных Технологий, 2008 г.
2. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1986.
3. Попов В.П. Основы теории цепей — М.: Высшая школа, 2000.
4. Качанов Н. С. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.
5. Малеко Е.М., Захаркина Е.И. Численные методы. Издательство: Магнитогорск. гос. тех. ун-та им. Г.И. Носова, 2012.
6. Maple в инженерных расчетах: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. 80 с.