Говоря о доказательстве, в повседневной жизни, мы имеем в виду проверку сформулированного утверждения. Непосредственно в математике понятия проверка и доказательство являются разными по сути, хотя и несут в себе взаимосвязь.
Давайте докажем, что если три угла в четырехугольнике равны 90 градусов, то такой четырехугольник является прямоугольником.
Рассмотрим четырехугольник, у которого три угла равны 90 градусов. Произведем измерения четвёртого угла и найдем его градусную меру. Приходим к выводу, что он тоже будет прямым. Такого рода проверка подтверждает данное утверждение, но не является доказательством.
Для доказательства данного утверждения, необходимо рассмотреть произвольный четырехугольник, у которого три угла равны по 90⁰. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰ [1], следовательно искомый угол равен 90⁰ (360⁰ — 90⁰*3). Прямоугольником является четырехугольник, у которого все углы прямые. Значит, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Смысл выполненного доказательства заключается в следующей последовательности истинных утверждений: теорем, аксиом, определений, из которых логически вытекает утверждение, которое необходимо доказать. Доказать утверждение — это значит показать, что данное утверждение логически следует из ряда истинных и связанных с ним утверждений.
В случае, если рассматриваемое утверждение логически вытекает из уже доказанных утверждений, то оно является обоснованным и истинным. Основой математического доказательства служит дедуктивный метод. А само доказательство выступает как цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.
В рассмотренном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
– в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура является выпуклым четырехугольником, следовательно, сумма углов в нём 360⁰;
– если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰(90⁰·3 = 270⁰), то определив их разность, найдем искомый угол, равный 90⁰;
– если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник; в нашем случае в четырехугольнике все углы прямые, следовательно он прямоугольник.
Все рассмотренные умозаключения выполнены по правилу заключения и, соответственно, являются дедуктивными.
Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 5 <78.
Рассматривая структуру математического доказательства, мы понимаем, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, посредством которых ведут доказательство.
Также важно заметить, что математическое доказательство — это не просто набор умозаключений, а умозаключения, расположенные в определенном порядке.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство относится к прямым — в нем, основываясь на отдельном истинном предложении и учитывая условия теоремы, соединялась цепочка дедуктивных умозаключений, которая непосредственно приводила к истинному заключению.
В качестве примера косвенного доказательства служит доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем: пусть требуется доказать теорему А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание будет истинным. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, применяемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), выполняем цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получим утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие установится, процесс доказательства заканчивают и приходят к мнению, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы А ⇒ В [2].
Задача 1. Доказать, что если х + 2 > 10, то х ≠ 8. Метод от противного.
Задача 2. Доказать, что если у² — четное число, то у — четно. Метод от противного.
Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Справедливо ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.
Полная индукция является таким методом доказательства, при котором истинность утверждения вытекает из истинности его во всех частных случаях.
Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Таким образом, математическое доказательство является рассуждением с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочкой логических умозаключений, показывающей, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.
Литература:
- Геометрия/ 7–9 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев]. — 21 изд. — М.: Просвещение, 2011.
