Золотой треугольник

В статье описывается дано определение золотого треугольника, способ построения и применение в различных задачах.

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

Золотой треугольник— это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием[1]. Нетрудно определить углы золотого треугольника (36°,72°,72°). Золотые треугольники можно увидеть в развёртках звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра, в вершинах пентаграммы, в десятиугольнике.

Построение золотого треугольника. Строим прямую АК. От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АК, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки длины d. Полученные точки D и D₁ соединяем с точкой А. Отрезок DD₁ откладываем на линию AD₁, получая точку С. Точка С разделила линию AD₁ в пропорции золотого сечения. Треугольник АDD₁ – искомый.

При построении логарифмической спирали используется золотой треугольник. (Начиная с большого треугольника) делим угол при основании пополам, получаем следующую точку. Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников. Логарифмическую спираль можно провести через полученные вершины. Эта спираль известна как равноугольная спираль. Термин предложил Рене Декарт: «Если провести прямую из полюса к любой точке на кривой, она пересечёт кривую всегда под одним и тем же углом» (рис. 1)

Золотой гномон, тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором отношение длины боковых сторон к длине основания является обратным к золотому отношению. Золотой гномон является уникальным треугольником с пропорцией углов 1:1:3. Его острые углы составляют 36°, то же значение, что и у угла при вершине золотого треугольника.

Золотой треугольник может быть разрезан на золотой треугольник и золотой гномон. То же самое верно для золотого гномона. Золотой гномон и золотой треугольник с их равными сторонами (сторона гномона равна стороне треугольника) также являются тупым и острым треугольниками Робинсона. (рис. 2) Эти равнобедренные треугольники могут быть использованы для получения мозаик Пенроуза. Плитки Пенроуза состоят из «змеев» и «дротиков». «Змей» представляет собой золотой треугольник, а «дротик» состоит из двух гномонов.

В планиметрических и стереометрических задачах золотой треугольник встречается в явном виде:

1. Доказать, что биссектрисы при основании золотого треугольника равны основанию.
2. Для золотого треугольника найти: медиану, проведенную к боковой стороне; высоту, проведенную к основанию; площадь.
3. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей золотого треугольника.
4. Диагональ параллелограмма разбивает его на два золотых треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найти расстояние между центрами этих окружностей.
5. Найти радиусы вневписанных окружностей золотого треугольника.
6. Найти расстояния между скрещивающимися ребрами золотой пирамиды (Золотая пирамида, пирамида у которой каждая грань – золотой треугольник).
7. Найти угол между скрещивающимися ребрами золотой пирамиды.
8. Найти высоту золотой пирамиды.
9. Найти объем золотой пирамиды.
10. Найти двугранные углы золотой пирамиды.
11. Для золотой пирамиды найти радиусы описанной и вписанной сфер.

И в неявном виде: золотой треугольник и его свойства применяются при решении задач:

1. Найти длины диагоналей правильного 10-угольника со стороной, равной 1.
2. Египетская пирамида Хеопса – правильная четырехугольная со стороной основания 233,16 м., угол наклона боковой грани к основанию равна 51°50´. Найти высоту пирамиды Хеопса и показать, что .

1. Каменева Т., Козлов А., Урмузов А. Золотой треугольник в задачах-М.:Чистые пруды, 2008.-32 с.
2. Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Некоторые аспекты структурирования курса математики в 10 классе. Развитие современного образования: теория, методика и практика. 2016. № 2 (8). С. 63-65.
3. Лысогорова Л.В. Закономерности процесса обучения математике как основа реализации принципа быстрого продвижения обучающихся в развитии. Молодой ученый. 2016. № 5-6 (109). С. 68-70.
4. Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.