Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях определённого интеграла

Выбор темы связан с информатизацией процесса обучения. Роль математического аппарата в решении задач по естественным дисциплинам нельзя переоценить. Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения по физике, химии, биологии и другим предметам. Математика является также основой для такой науки, как информатика. Данная статья посвящена вопросам применения программирования в MathCAD, DevC++ для изучения геометрических и физических приложений определенного интеграла. Разработанные программы могут быть использованы для решения прикладных задач геометрии и физики.

Ключевые слова: способ трапеций, способ средних прямоугольников, способ Симпсона, центр тяжести плоской фигуры, площадь криволинейной трапеции, MathCAD

Цель исследования: изучить понятие определённого интеграла и его приложений. Реализовать решение задач с помощью программирования в DevC++ и в САПР MathCAD.

Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу и обосновать внедрение ИКТ и программирования в решение прикладных задач на применение свойств определенного интеграла.
2. Выбрать некоторые методы решения прикладных задач, позволяющие глубоко изучить и усвоить приложения определенного интеграла.
3. Разработать некоторые аспекты методики решения прикладных задач на применение свойств определенного интеграла с применением информационных технологий. Проверить эффективность в опытно-экспериментальной работе с помощью изготовленных моделей.

Определим понятие численного интегрирования: под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла. Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.

Рассмотрим два первых способа вычисления определённого интеграла.

Способ трапеций. Промежуток интегрирования [a, b] разбивается на n равных частей точками . Площадь каждой криволинейной трапеции между прямыми и заменяется площадью прямолинейной трапеции, ограниченной сверху хордой, соединяющей точки графика с абсциссами и . Основаниями таких трапеций являются и .

Способ средних прямоугольников. В качестве приближения к интегралу берется интегральная сумма, в которой значения подынтегральной функции берутся в серединах промежутков, на которые разделен промежуток интегрирования. Будем предполагать, что все эти промежутки имеют одинаковую длину, равную , где a и b — пределы интегрирования, n — число частей. площадь прямоугольника равна площади трапеции, ограниченной промежутком [x_i-1, x_i], прямыми и и касательной к графику f(x) в точке с абсциссой .

Если заменить график функции y= f(x) на каждом отрезке [x_i-1, x_i] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и средних прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла . Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы , сбоку — прямыми и снизу отрезком .

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла . Для этого отрезок [a, b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной точками . В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции , где (рисунок 1).

Рис. 1. Способ средних прямоугольников

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [x₀, x₂] парабола проходит через три точки

Приведем пример реализации численного интегрирования методом Симпсона всреде программирования DevC++. Для начала разберём алгоритм на конкретном примере. Пусть была задана функция на интервале от 0 до 4, требуется найти значение определённого интеграла . Даны только точки, принадлежащие графику функции. В таком случае через каждые тройки точек можно провести график какой-либо параболы . Если построить график функции (выделен красным), то можно заметить, что параболы довольно точно описывают этот график (при достаточно большом числе разбиений):

Рис. 2. Численное интегрирование методом Симпсона

Таким образом значение определённого интеграла складывается из значений определённого интеграла каждой из парабол на соответствующих интервалах.

Реализуем данный метод в среде программирования Dev C++. Формула для вычисления определённого интеграла :

1. Объявляем массив, в котором будем хранить координаты точек, а также h и n — число точек. Изначально приближенное значение интеграла равно 0:

2. Считываем число точек и координаты (x, y) для каждой точки:

3. Для троек соседних точек считаем площадь под графиком параболы, которую они образуют, по соответствующим формулам из п. 1.5, заметим, что в этом случае указатель i на каждой итерации сдвигается на 2 ед.

4. Осуществляем вывод полученного результата:

Результат работы программы для случая, разобранного в примере:

Рис. 3. Программа в Dev-C++, реализующая метод Симпсона

Точное значение интеграла

Реализация вычисления площади поверхности и объёма тела вращения вСАПР Mathcad

Пусть y=f(x) — непрерывная неотрицательная функция, заданная на интервале [a, b]. Представим себе тело, получающееся при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной функцией y= f(x), прямыми и осью OX.

Перейдём квычислению вСАПР MathCAD:

Первым шагом задаём функцию y=f(x), и интервал [a, b].

1. Строим график функции y=f(x).
2. Добавляем вертикальные маркеры, и записываем в них значения а и b, они представляют собой прямые .

Рис. 4. Построение криволинейной трапеции в MathCAD Prime 3.1

Теперь представим тело, полученное вращением данной криволинейной трапеции вокруг оси ОХ. Для этого следует использовать цилиндрические системы координат.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты, которая задаёт высоту точки над плоскостью. Какая-либо точка Р будет задаваться как .

— расстояние от Р до оси Z,

– угол между осью Х и отрезком OР’, где Р’ — проекция точки Р на плоскость XOY, z — аппликата точки Р.

Для построения тела вращения будем использовать параметрические уравнения для перехода к цилиндрической системе координат:

Далее построим поверхность тела вращения, используя функцию CreateMesh:

Вид полученного 3-d графика:

Рис. 5. Построение тела вращения в MathCAD Prime 3.1

Далее для вычисления объёма тела вращения используем формулу , значение данного интеграла вычисляем по формуле Симпсона.

Задаём число разбиений, которое обязательно должно быть чётным. И вычисляем длину отрезка разбиения:

Для вычисления значения определённого интеграла используем операторы программирования. Задаём значение , вычисляем значение :

С помощью цикла while вычисляем значение :

Последним шагом переменной Vol присваиваем значение определённого интеграла, вычисленное согласно формуле Симпсона:

Записываем ответ:

Для нахождения площади боковой поверхности используем тот же алгоритм, но сначала требуется найти производную функции, т. к. для формулы требуется значение производной:

Далее рассуждения аналогичны.

Теперь вычислим точное значение интегралов и для того, чтобы оценить погрешность полученного значения, вычисленного по формуле Симпсона. При увеличении числа разбиений будет получаться значение более близкое к точному значению интеграла:

Далее перейдём кфизическому приложению интеграла, а именно к его применению в теоретической механике.

Пусть на плоскости Oxy задана система материальных точек соответственно с массами .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси Ox называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (на расстояния этих точек от оси Ox): . Аналогично определяется статистический момент этой системы относительно оси Oy: . Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статистического момента понадобится интегрирование.

Пусть — это уравнение материальной кривой AB. Будем считать её однородной с постоянной линейной плотностью . Статические моменты и кривой позволяют установить положение её центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу заданной кривой, то статистический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статистическому моменту всей кривой относительно той же оси. Обозначим через центр тяжести кривой AB.

Определим теперь формулы для вычисления статистических моментов икоординат центра тяжести плоской фигуры:

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой и прямыми . Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна . По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через , что и .

Перейдём к реализации данных методов вСАПР MathCAD.

1. Задаём кривую и интервал, на котором она рассматривается:

2. Находим производную функции:

3. Согласно формулам находим координаты центра тяжести плоской кривой:

4. Конечный результат представляем в виде графика (красная точка — центр тяжести).

Рис. 6. Определение центра тяжести плоской кривой в MathCAD Prime 3.1

5. Для вычисления центра тяжести плоской фигуры делаем аналогичные шаги.

Рис. 7. Определение центра тяжести плоской фигуры в MathCAD Prime 3.1

Заключение

Рассмотренные в работе методы приближенного вычисления интеграла позволяют вычислять его значения, если подынтегральная функция задана в виде массива значений, или же подынтегральная функция настолько сложна, что вычисление её первообразной является довольно трудоёмким процессом. Наиболее точным методом является формула Симпсона. Применение информационных технологий позволяет с большой точностью вычислять значения интегралов рассмотренными способами, благодаря возможности большого числа разбиений отрезка интегрирования функции.

Помимо этого, было рассмотрено применение интеграла для вычисления объёма и площади боковой поверхности произвольного тела вращения, далее данные методы были реализованы в САПР MathCAD. Рассмотренные методы можно использовать при решении геометрических задач.

Немаловажным является рассмотрение физического приложения интеграла, а именно его применение в теоретической механике. Реализовано нахождение центра тяжести плоских кривых и фигур в САПР MathCAD. Для демонстрации была изготовлена модель плоской пластины и найдена координата её центра тяжести. Проведённый эксперимент подтвердил эффективность применения информационных технологий для решения задач, основывающихся на физическом приложении определённого интеграла.

1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — М.: Аванта+, 2002.
2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, учебник 11 класс. — 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2014.
3. Фадеев Д. К., Никулин М. С., Соколовский И. Ф. Элементы высшей математики для школьников. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987..
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. — 9-е изд. — М.: Айрис- пресс, 2009.
5. Информационный портал Wikipedia [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ Формула_Симпсона (Дата обращения: 15.01.2017г.)