Для получения более полной характеристики случайных величин кроме средней величины рассчитываются так называемые структурные средние. К ним относят моду и медиану. Данная статья представляет собой результаты исследовательского проекта.
Мода — это наиболее встречающееся значение признака, или, иначе говоря, значение признака, имеющее наибольшую повторяемость (частоту). Моду рассчитывают по-разному, в зависимости от того, как изменяется случайная величина — дискретно или непрерывно.
На практике чаще всего анализируемые данные оформлены в форме таблицы. В случае непрерывно изменяющейся случайной величины все ее значения разбиваются на интервалы по принципу «от и до». Для определения моды в случае непрерывно изменяющейся случайной величины сначала находят модальный интервал, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем внутри интервала ведут расчет по формуле:
где 
— нижняя граница модального интервала;
— величина интервала;
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующего модальному;
— частота интервала, следующего за модальным.
Определить модальное значение признака можно и по графику. Для этого в случае дискретно изменяющихся случайных величин строится полигон распределения. На оси абсцисс откладываются значения признака, а на оси ординат — соответствующие им частоты. Значение абсциссы, соответствующие наибольшей вершине полигона, будет значением моды.
Для определения моды в случае непрерывно изменяющейся случайной величины строится гистограмма. В этом случае на оси абсцисс находятся значения границ интервалов значений случайной величины, а на оси ординат — соответствующие этим интервалам частоты. На гистограмме модальному интервалу будет соответствовать столбец, имеющий наибольшую высоту. Затем необходимо провести линии, соединяющие вершины модального столбца с прилегающими вершинами соседних столбцов. Для нахождения значения моды из точки пересечения проведенных линий на ось абсцисс опускают перпендикуляр. Абсцисса этой точки и будет модой.
Ряд распределения случайной величины может содержать несколько модальных значений: имеющий одну моду, называется унимодальным, две — бимодальным, три и более — мультимодальным.
Медиана — это значение признака, которое делит все данные на две равные части: половина единиц совокупности имеет значения признака не меньше медианы, другая половина — значения признака не больше медианы.
В случае непрерывно изменяющихся случайных величин сначала определяют медианный интервал. Для этого рассчитывают порядковый номер медианы 
. Накопленной частоте, присущей медиане (номеру медианного значения признака) соответствует медианный интервал. Обозначим накопленную частоту как 
. Непосредственно расчет медианы в медианном интервале проводят по формуле:
,
где 
- нижняя граница медианного интервала;
- величина медианного интервала
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
частота медианного интервала.
Медиана может быть определена графически по кумуляте. Для этих целей на оси ординат, где отмечаются накопленные частоты, находится точка, соответствующая полусумме всех частот, т. е. порядковому номеру медианы. Из нее проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения с графиком. Абсцисса точки пересечения и соответствует медиане.
Для определения медианы в случае дискретно изменяющихся случайных величин значения изучаемого признака ранжируют, т. е. располагают в порядке возрастания (или убывания). Если число единиц совокупности нечетное, то значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда, будет являться медианой. Если число единиц будет четное, то медианой будет средняя величина из двух значений признака, находящихся в середине ряда.
В качестве практического примера рассмотрим результаты сдачи ЕГЭ по математике некоторой совокупностью учащихся в количестве 170 человек. При этом с некоторым допущением будем считать результат сдачи ЕГЭ непрерывно изменяющейся величиной, т. е. применим соответствующую формулу расчета. Данные представлены в таблице 1.
Таблица 1
Данные о результатах сдачи ЕГЭ по математике по 100-бальной шкале
|
Величина балла по 100-бальной шкале (xi) |
Количество учащихся (fi) |
|
0–10 |
0 |
|
10–20 |
1 |
|
20–30 |
6 |
|
30–40 |
22 |
|
40–50 |
55 |
|
50–60 |
41 |
|
60–70 |
20 |
|
70–80 |
12 |
|
80–90 |
10 |
|
90–100 |
3 |
Модальным является интервал «от 40 до 50», т. к. он имеет наибольшую частоту. Значение моды будет равно:
Медианным является интервал «от 50 до 60», т. к. в нем накопленная частота достигнет 85, т. е. половины численности учащихся. Накопленная частота интервала, предшествующего медианному, равна 84. Значение медианы будет равно:
Средний балл по совокупности учащихся в количестве 170 человек рассчитаем как среднее арифметическое взвешенное значение по формуле:
где 
— середина i-го интервала.
Полученные значения среднего арифметического значения, а также моды и медианы свидетельствуют о наличии некоторой асимметрии результатов ЕГЭ по исследуемой совокупности учащихся. В середине совокупности оценка 50,2 балла, среднее арифметическое значение равно 52,9, но наиболее типичной является оценка 47,0 баллов.
Заключение. Мода и медиана как структурные характеристики распределения случайной величины дают дополнительные сведения по исследуемой совокупности данных.
Литература:
1. Салин В. Н., Чурилова Э. Ю., Шпаковская Е. П. Статистика. –М., Кнорус, 2007, 304с.
2. Вероятность и статистика в школьном курсе математики [Электронный ресурс]. URL: www.school-collection.edu.ru/catalog (Дата обращения 25.05.2017).
