В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.
Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.
В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:
1. Прием переброски старшего коэффициента
ах2+вх+с=0
Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у2+ру+к=0, тогда
х1=
, х2=
.
Пример:2х2-9х-5=0
У2-9у-10=0. у1=10, у2=-1, тогда х1=
=5, х2=-0,5.
Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).
Пример: 
. При переброске старшего коэффициента получим уравнение 
. По теореме, обратной т.Виета, получим корни у1=-3, у2=-
, тогда х1=
=
, х2=
.
2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах2+вх+с=0.
Если выполняется условие а+в+с=0, то х1=1, х2=
.
Пример: 21х2-3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х1=1, х2=
.
Если а-в+с=0, то х1=-1, х2=
.
Пример: х2+1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х1=-1, х2=-1356.
3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах2± (а2+1)х ± а=0.
В уравнениях вида ах2+(а2+1)х+а=0 корни х1=- а, х2=-
.
Пример: 25х2+626х+25=0, х1=- 25, х2= –
.
В уравнениях вида ах2- (а2+1)х+а=0 корни х1= а, х2=.
Пример: 13х2- 170х+13=0, х1=13, х2= 
.
В уравнениях вида ах2+(а2+1)х- а=0 корни х1=- а, х2=.
Пример: 25х2+626х – 25=0, х1=- 25, х2= .
В уравнениях вида ах2- (а2+1)х- а=0 корни х1= а, х2=
.
Пример: 13х2- 170х-13=0, х1=13, х2= 
.
В уравнениях вида ах2-(а2+1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у2-(а2+1)у+а2=0. Сумма коэффициентов 1-(а2+1)+а2=0, следовательно у1=1, у2=а2, тогда х1=
, х2=а.
Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:
- Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами
|
4х2 – 13х + 9 =0 1978х2 – 1984х + 6=0 4х2 + 11х + 7 = 0 319х2 + 1988х +1669=0 1999х2 + 2000х+1=0 |
313х2 +326х+13=0 839х2– 448х -391=0 345х2 – 137х – 208=0 939х2+978х+39=0 8х2+65х+8=0 |
- Решите уравнение
а) 20092008х2-20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)
б) x(x+ 1) = 2014·2015 (турнир Ломоносова)
- Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:
|
17х2+290х+17=0 23х2- 530х+23=0 37х2+1370х – 37=0 38х2+3365 – 38=0 |
69х2+4762х+69=0 69х2- 4762х+69=0 69х2+4762х – 69=0 69х2+4762х – 69=0 |
Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.
Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.
Литература:
- Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
- Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
- Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
- Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.
- Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
- Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.
