3D-моделирование фракталов. Фрактальные антенны

 

Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается простыми фигурами и их комбинациями. Однако природные системы и их динамика могут быть весьма сложными. Например — модель горного хребта, легких человека, системы кровообращения, турбулентных процессов. Для исследования систем подобного класса используют различные методы, в том числе, фрактальное моделирование. Данная статья посвящена рассмотрению возможности применения компьютерного моделирования для построения виртуальных (в среде 3ds Max) и натурных моделей фрактальных объектов, в том числе, с помощью технологии 3D-печати. В статье рассматривается вопрос практического применения теории фракталов в сфере телекоммуникаций. Приводятся алгоритм создания фрактальных антенн двух типов, а также результаты проводимого эксперимента.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, фрактал, 3ds Max, 3D-печать, фрактальные антенны.

 

Цель работы: изучить математические законы и принципы создания фракталов, построить 3D-модели фракталов, а также создать фрактальные антенны и апробировать их с использованием серии экспериментов.

Задачи работы:

1.                Проанализировать специальную литературу, изучить типы фракталов, а также принципы их построения.
2.                Разработать 3D-модель фрактала в программе 3ds Max.
3.                Определить области применения фракталов.
4.                Разработать модели фрактальных антенн.
5.                Провести серию испытаний и проанализировать результаты работы антенн.

Понятие и классификация фракталов.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный) — множество, обладающее свойством самоподобия. Фракталом называют фигуры, обладающие свойствами:

–                    нетривиальная структура, чем отличается от регулярных фигур: если рассмотреть фрагмент, например, окружности в крупном масштабе, он будет похож на прямую. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению;

–                    самоподобие, т. е. часть фигуры является копией целого;

–                    дробной метрической размерностью, идея которой была предложена Бенуа Мандельбротом в 1967г.: «длина береговой линии зависит от длины мерной палки, т. е. размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов, нужных для измерения длины береговой линии, к масштабу шеста».

Согласно общепринятой классификации выделяют три типа фракталов: геометрические, алгебраические и стохастические.

Построение геометрических фракталов происходит поэтапно. Вначале необходимо построить основу. Затем разделить ее на части и некоторые из них заменить на фрагмент основы в масштабе. Далее этот процесс повторяется. На каждом этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на выбранный фрагмент. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Снежинка Коха. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть K₀ — начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины. Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через K_n фигуру, полученную после n-го шага. Последовательность кривых K_n при сходится к кривой К. Важное свойство границы снежинки — бесконечная длина. Обычно гладкие или кусочно-гладкие кривые имеют конечную длину.

Рис. 1. Снежинка Коха

 

Пример 2. Треугольник Серпинского. Этот фрактал описал в 1915г. Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять равносторонний треугольник с «внутренностью», провести в нём средние линии и вырезать центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке 2 показаны первые три шага. Рассмотренный способ построения не единственный. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

Рис. 2. Треугольник Серпинкого

 

Пример 3. Дерево Пифагора. Фрактал называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора. Очевидно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6×4. Значит, его площадь 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна начальной площади, то есть 2. Можно предположить, что площадь дерева бесконечна. Противоречия здесь нет, т. к. квадратики начинают перекрываться, и площадь увеличивается не так быстро. Т. е. она конечна, но точное значение неизвестно.

Рис. 3. Дерево Пифагора

 

Вторая группа — алгебраические фракталы. Такие фракталы возникают при исследовании нелинейных динамических систем. Поведение подобной системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом).

Например, рассмотрим функцию f(Zn)=Zn+1, где Z — комплексное число, а f некая функция. Комплексное число a+bi имеет действительную часть а и мнимую часть bi, где i — мнимая единица (). Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости с координатами (a; b). Будем производить многократный (итерационный) расчет значений данной функции до выполнения определенного условия. При выполнении этого условия получим некоторую точку комплексной плоскости. В зависимости от начальной точки Z₀ такая последовательность может вести себя по-разному:

–                    с течением времени стремится к бесконечности;

–                    сходится к какой-то конечной точке;

–                    принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;

–                    поведение хаотично, без каких-либо тенденций.

Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (точки бифуркации). Множества точек, имеющих один тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции f(z).

Другой пример алгебраического фрактала — множество Мандельброта. Данный фрактал представляет собой множество точек комплексной плоскости, для которых последовательность Z_n конечна. Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C. Визуально оно выглядит как набор бесконечного количества различных фигур, самая большая из которых называется кардиоидой. Кардиоида окружена уменьшающимися кругами, каждый из которых окружен еще меньшими кругами, и т. д. до бесконечности.

Для построения графического изображения множества Мандельброта можно использовать алгоритм, называемый escape-time. Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от –2+2i до 2+2i рассчитаем достаточно большое количество раз значения Z_n, каждый раз проверяя абсолютное значение. В случае если это значение больше 2, рисуем точку с цветом равным номеру соответствующей итерации, иначе рисуем точку черного цвета. Черный цвет показывает, что в этих точках функция стремится к нулю — ϶ᴛᴏ и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Границы множества являются фрактальными, т. е. функция ведет себя непредсказуемо — хаотично.

Рис. 4. Множества Жюлиа (слева) и Мандельброта (справа)

 

Третью группу составляют стохастические фракталы, образующиеся путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. В результате итерационного процесса получаются объекты очень похожие на природные фракталы — несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Кроме того, на основе стохастических фракталов появилось такое направления в искусстве, как стохатипия. Оно заключается в получении изображения случайного фрактала. Примером стохастического фрактала является траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве. Рандомизированные фракталы часто используются в компьютерной графике. Например, для построения фрактала «плазма» возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных прямоугольника, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Аналогично можно получить фотореалистичную модель горного массива.

Рис. 5. Стохастический фрактал «Плазма»

 

Методы построения 3D-моделей фракталов

Для создания 3D моделей фракталов можно использовать различное программное обеспечение. Например, Компас 3D или 3ds Max. Также существуют специализированные программы, имеющие встроенные алгоритмы, реализующие основные этапы построения. Однако полученные с помощью таких программ модели не всегда пригодны для дальнейшей 3D печати, поскольку создаются со значительными погрешностями построения. Эти модели используются в компьютерной анимации, при создании видеофильмов или игр.

Одной из задач проводимого исследования является рассмотрения математической основы теории фракталов и изучение способов их построения, а также разработка натурных моделей с помощью технологии 3D печати. Поэтому для реализации практической части была выбрана программа 3ds Max. Вариантов построения фракталов в среде несколько:

1.                Построение фракталов «в ручном режиме». Т. е. данный метод не предусматривает автоматизации действий. Например, для построения пирамиды Серпинского необходимо по аналогии со способом построения треугольника Серпинского, описанного ранее, построить пирамиду и поэтапно вырезать из нее лишние части.
2.                Разработка специального скрипта, позволяющего полностью автоматизировать процесс. Скрипт, позволяющий построить фрактал «губка Менгера», и результат построения в программе 3ds Max приведены ниже:

Рис. 6. Губка Менгера (скриптовый способ построения)

 

3.                Третий способ представляет собой «полуавтоматический режим» — основа будущего фрактала создается вручную, а дальнейшие действия выполняет программа (скрипт), составленная с помощью специального плагина Para 3D. Рассмотрим примеры построения фракталов данным методом.

Пример 1. Алгоритм построения пирамиды Серпинского с помощью Para 3D

1.                Строим пирамиду — основу будущего фрактала.
2.                Копируем пирамиду и уменьшаем ее в 2 раза.
3.                Копируем уменьшенную пирамиду 4 раза.
4.                Перемещаем полученные пирамиды таким образом, чтобы они образовали «базовый фрактал» для работы скрипта в Para 3D.
5.                Переходим к созданию скрипта в Para 3D.
6.                Создаем объект типа «L-system control», в разделе transform control создаем связи Link control для основы и 1 треугольника, а затем и для оставшихся четырех.
7.                В объекте «L-system control» задаем алгоритм построения: *--> +*-*(*)* [*

Рис. 7. Схема скрипта для построения пирамиды Серпинского

 

Рис. 8. Пирамида Серпинского в 3ds Max + Para 3D

 

По результатам компьютерного моделирования фрактальных объектов с помощью технологии 3D-печати были получены натурные модели. Процесс печати и сами модели представлены ниже.

Рис. 9. Области применения фракталов. Фрактальные антенны.

 

Теория фракталов и фрактальные алгоритмы в частности, нашли практическое применение в очень многих областях науки и технике. Например, фрактальные алгоритмы применяются для сжатия изображений — алгоритм сжатия с потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений. Основа метода заключается в обнаружении самоподобных участков.

Фракталы находят применение и в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т. д. Например, теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм, обработки рентгеновских снимков, повышая качество изображения и позволяя производить более качественную диагностику. Недавно учёным удалось доказать, что если составить карты адгезии (сцепления) поверхностей нормальных и раковых клеток, то окажется что эти карты имеют разную фрактальную размерность. Возможно это открытие поможет разработать новые методы диагностики и лечения онкологических заболеваний.

Фракталы широко используются и в естественно-научных дисциплинах. Например, в геологии и геофизике. Фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, распределение которых очень часто происходит по фрактальному механизму. Исследование разломной тектоники и сейсмичности тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов. Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

Фракталы очень часто используют для создания различного рода визуализаций, видеоинсталляций, создания спецэффектов в компьютерной графике и т. д. Сегодня во многих компьютерных играх или в кино, где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы.

В сфере сетевых технологий было проведено множество исследований, показывающих самоподобие траффика, передаваемого по разного рода сетям. Это касается речевых, аудио и видео сервисов. В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны — относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств.

Развитие мобильных телекоммуникационных технологий, радаров и СВЧ датчиков перемещений диктует необходимость разработки новых многоэлементных антенных систем, состоящих из излучателей, имеющих малые размеры и оптимальную конфигурацию. Антенна является неотъемлемой составной частью любого радиотехнического устройства, которое предназначено для передачи или приёма информации с помощью радиоволн через окружающее пространство. Как было сказано выше, фрактальные антенны имеют отличающуюся от всех других видов антенн геометрию. Главная особенность фрактальных геометрических форм — их дробная размерность. Среди большого разнообразия фрактальных структур одной из наиболее удобных для создания антенн являются фракталы Минковского. «Инициатором» фрактала является отрезок, а «генератором» является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга).

Рис. 10. Фрактал «кривая Минковского»

 

Для организации эксперимента было разработано два вида антенн. Фрактальная антенна первого типа изготовлена из куска медной проволоки диаметром около 1 мм. Проволоке была придана форма фрактала. Полученная антенна закреплена на картоне. К свободным концам припаян стандартный телевизионный кабель.

Фрактальная антенна второго типа изготовлена с использованием технологии 3D печати. Для этого в среде 3ds Max создана модель. Антенна состоит из нескольких частей: цилиндрическое основание, фрактальные «уши», крепежи. Детали распечатаны на 3D принтере и скреплены винтами. «Уши» антенны обклеены медной фольгой и к ним прикреплен телевизионный кабель.

Рис. 11.

 

Испытания проводились путем подключения антенн к телевизору и сравнения качественных и количественных характеристик принимаемого сигнала. Показания также сравнивались с обычной телевизионной антенной. Результаты эксперимента представлены в таблице.

 

Таблица 1

Результаты серии испытаний

	Габариты (Ш х В х Г)	Количество «пойманных» аналоговых каналов	Качество изображения (помехи)	Стабильность принимаемого сигнала
Фрактальная антенна первого типа	10 х 10 х 0,02см	14 каналов из 14	На большинстве каналов картинка четкая, помехи присутствуют в незначительном количестве	Сигнал стабилен
Фрактальная антенна второго типа	габариты вибраторов – 8 х 20 х 0,5см   габариты крепежа – 3,5 х 15,5 х 4,5см	14 каналов из 14	Помехи присутствуют в незначительном количестве, но на некоторых каналах отмечается размытие картинки	Сигнал стабилен
Стандартная телевизионная антенна	длина вибраторов («усов») антенны — от 30см до 1м	8 каналов из 14	Присутствует большое количество помех	Принимаемый сигнал часто не стабилен
Стандартная телевизионная антенна с усилителем	длина вибраторов («усов») антенны — от 10см до 50м размеры усилителя - 20 х 20 х 1 см	10 каналов из 14	Присутствуют помехи, картинка на многих каналах размыта (фоновые шумы)	Сигнал иногда пропадает

 

Заключение

В результате работы над проектом были изучены типы фракталов и способы их построения. На основе полученных теоретических знаний были созданы компьютерные и натурные 3D модели пирамиды Серпиноского, дерева Пифагора, икосаэдра. В качестве экспериментальной части были рассмотрены направления использования фракталов в телекоммуникациях. Были разработаны две модели фрактальных антенн и проведен ряд испытаний. Эксперимент заключался в изучении стабильности приема телевизионного сигнала с помощью двух типов обычных телевизионных антенн и двух типов фрактальных. Исследования проводились в условиях отсутствия прямой видимости башни телевизионного вещания. Помехами для передаваемого сигнала служили многоэтажки, различные электрические кабели, другие антенны (спутниковые, внешние телевизионные).

Результаты эксперимента показывают, что фрактальные антенны способны принимать сигнал более устойчиво, процент потери или искажения минимален по сравнению с бытовыми антеннами. Также необходимо отметить, что область применения фрактальных антенн не ограничивается только приемом/передачей тв-сигнала. Они успешно применяются для организации wi-fi сетей, сотовой связи, в том числе и закрытых военных радиоканалов.

Таким образом, можно сделать вывод, что освоение приемов построения фракталов и знание области их применения способствуют повышению эффективности изучения многих объектов и процессов живой и неживой природы. В свою очередь это, с одной стороны, мотивирует к изучению практических областей применения геометрии, физики, информатики и других предметов естественно-научного цикла, с другой, позволяет проследить связь между наукой и реальной жизнью и между отдельными разделами наук.

 

Литература:

 

1.                Балханов В. К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления — Улан-Удэ: изд-во Бурятского госуниверситета, 2013.
2.                Божокин С. В., Паршин П. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
3.                Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. — М.: «Постмаркет», 2000.
4.                Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002.
5.                Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. — М.: «Университетская книга», 2005.
6.                Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. — М.: «Триумф», 2001.
7.                Федер Е. Фракталы. — М.: «Мир», 1991.
8.                Фрактальные антенны своими руками: применение и сборка [Электронный ресурс]. URL: http://vashtehnik.ru/radioapparatura/fraktalnye-antenny-svoimi-rukami.html (Дата обращения: 25.01.2018г.)
9.                Практическое применение фрактальных алгоритмов [Электронный ресурс]. URL: https://m-rush.ru/theory/item/184-fraktaly-na- (Дата обращения: 14.12.2017г.)