Решения алгебраических уравнений весьма широко и разнообразно раскрывается в школьном курсе математики. Однако мало внимания уделяется задачам на поиск целочисленных корней алгебраических уравнений двух и более переменных с целыми коэффициентами. Так проведенный анализ учебно-методической литературы средней школы (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов «Алгебра и начала анализа 10–11 классы», С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. «Алгебра и начала математического анализа 10–11 классы», А. Ш. Алимов, Ю. М. Колягин и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. Углубленный уровень») показал отсутствие каких-либо рекомендаций по их решению. Кроме того, мной было отмечено включение данных задач, как в чистом виде, так и в структуре решения той или иной задачи в материалы по формированию банка заданий ЕГЭ (профильная математика 2016–2018 годов), математических олимпиад различных уровней.
Подобное противоречие позволяет мне прийти к выводу о необходимости тщательного изучения теории и практики решения данных задач. С этой целью сформулируем определение объекта нашего исследования.
Диофантово уравнение — это алгебраическое уравнение нескольких переменных с целыми коэффициентами [1]. Поскольку в содержании ЕГЭ, а также материалах предметной олимпиады наиболее выраженно представлены уравнения 1-й и 2-й степени, либо задания, сводимые к ним, то подробно остановимся на определении и методики их решения.
Линейным диофантовым уравнением (уравнением первой степени) называется равенство вида
(1)
Под решением уравнения (1) понимается пара 
целых чисел 
таких, что при подстановке их в данное уравнение вместо 
и 
соответственно получается верное числовое равенство [1].
Перед непосредственным процессом поиска решения того или иного линейного диофантово уравнения необходимо убедиться в его наличии. С этой целью сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Диофантово уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда 
.
Не ставя перед собой цель доказать данное утверждение, остановимся на кратком разборе его содержания. Итак, согласно условию теоремы, если коэффициент 
делится на НОД коэффициентов 
и 
, то уравнение имеет решение. Приведем примеры:
-
имеет решение;
-
не имеет решения.
Самый простой метод решения — «Метод перебора». Продемонстрируем его на примере текстовой задачи.
Задача 1. Некоторая семья содержит в своей квартире животных (кошки и собаки). На всех вместе приходится 22 ног и лап. Определите, сколько людей и домашних животных проживают в данной квартире.
Решение:
Пусть 
— число людей, 
— число людей, тогда в соответствие с условием задачи составим уравнение:
(2)
Выразим одну из переменных через другую:
Составим таблицу возможных вариантов.
|
y |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
x |
9 |
7 |
5 |
3 |
1 |
Таким образом, задача имеет следующие решения: 
Замечание. Полученные результаты являются частными решениями диофантова уравнения (2).
Последнее замечание поставило перед нами задачу поиска метода нахождения общего решения линейного диофантова уравнения. Второй метод решения — «Метод рассеивания».
Задача 2. Решить в целых числах уравнение 
Решение:
имеет решение.
Выразим компоненту с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом
Выразим 
, выделяя целую часть переменной 
Тогда обозначив 
, получим 
. При этом очевидно, что 
. Выразим 
Полагая, что 
получаем 
и 
.
Таким образом, данная задача имеет следующее множество решений 
при всех 
.
Следующий метод, который мы предлагаем рассмотреть это решение диофантовых уравнений при помощи алгоритма Евклида. Логическим продолжением теоремы 1 является следующее следствие.
Следствие. Диофантово уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда 
Задача 3. Решить в целых числах уравнение 
Решение:
имеет решение.
Воспользуемся алгоритмом Евклида [2], представим число 1 через 
и 
.
Тогда очевидно, что 
Следовательно, 
и 
Таким образом, данная задача имеет следующее множество целочисленных решений 
при всех 
.
В результате можно сделать вывод, что теория решения линейных диофантовых уравнений относится к разделу элементарной математике и предусматривает построения единой логической конструкции последовательных рассуждений с включением в них элементов теории чисел.
Теорию решения линейных диофантовых уравнений можно использовать и для решения более сложных алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Приведем примеры.
Задача 3. Решить в целых числах уравнение 
Решение: Перенесем компоненты в одну сторону и попытаемся разложить полученный многочлен на множители:
Таким образом, становится очевидно, что для того чтобы данное равенство выполнялось в целых числах необходимо чтобы выполнялись следующие условия:
или 
Тогда очевидно, что решениями являются пары чисел: 
Задача 4. Решите уравнение в целых числах 
(Петербургские математические олимпиады)
Решение: Разложим левую часть данного уравнения на множители:
Тогда, на основе предыдущей задачи и поскольку число 
- простое, получаем:
(a) или 
(b) или 
(c) или 
(d)
Системы a и d не имеют целочисленных решений. С другой стороны, b — 
; c — 
Теория диофантовых уравнений имеет множества приложений. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 5. Решите уравнение 
(ЕГЭ, 2017)
Решение: Поскольку 
, то данное уравнение равносильно системе:
Тогда 
Найдем пересечение серий решений последней системы:
Пользуясь методом рассеивания, получим 
и 
Тогда общее решение системы, а вместе с ним и исходного уравнения является 
Таким образом, рассмотрение теории и практики решения диофантовых уравнений позволит мне, с одной стороны, подготовиться к предметной олимпиаде и ЕГЭ по математике, с другой — обогатить личный опыт исследовательской деятельности, как необходимого атрибута моего дальнейшего обучения в высшем учебном заведении.
Выражаю сердечную благодарность моим научным руководителям за поставленную задачу и ценные советы в процессе написания данной исследовательской работы.
Литература:
- Смолин Ю. Н. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие / Ю. Н. Смолин. -4-е изд., стер. — М.: Флинта, 2012. — 464 с.
- Дэвенпорт Г. Введение в теорию чисел. — М.: Вузовская книга, 2008. — 173 с.
