Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского

{{{Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского

Красюк Данила Андреевич, учащийся 8 класса;

Хлыстов Тимофей Николаевич, учащийся 8 класса;

Научный руководитель: Пензина Ирина Владимировна, учитель математики;

Научный руководитель: Шонин Максим Юрьевич, учитель математики;

Научный руководитель: Бекмухометова Светлана Александровна, директор;

Научный руководитель: Бакитжанов Артур Сакенович, учитель информатики;

Научный руководитель: Власова Светлана Николаевна, учитель русского языка и литературы;

Научный руководитель: Дегтярева Екатерина Владимировна, учитель математики

МОУ Петропавловская СОШ (Челябинская обл.)}}}

 

Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. С древних времен люди сталкивались с необходимостью находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звезд на небе и т. п.

Данная статья посвящена решению задачи оптимального измерения высоты здания. Отметим, что для вычисления высот, глубин, расстояний или других замеров реальных объектов не всегда можно их измерить — во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако существуют другие способы измерений, не связанные с непосредственными замерами.

1. Постановка задачи: Определить высоту стены здания МОУ «Петропавловская СОШ» методами Фалеса, Жуль Верна, измерения с помощью зеркала (лужи), измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника, измерения высоты с помощью фотографии, с помощью воздушного шарика, карандаша.

Для этого нам нужно было изучить все эти методы и применить их при выполнении заданной задачи. Рассмотрим методы более детально.

1. Метод Фалеса

Поскольку лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо шеста, во сколько раз дерево выше шеста. Поэтому, установив вертикально шест известной высоты и измерив, отношение длины тени от дерева к длине тени от шеста, мы вычислим искомую (примерную) высоту дерева. Так Фалес измерил высоту пирамиды [1].

Применив метод Фалеса при измерении высоты школы, тень стены — 1675 см., тень ученика — 249 см, рост ученика — 179 см (рисунок 1). Используя формулу Фалеса, рассчитаем высоту школы. Получили 1204 см.

Рис. 1. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод Фалеса

 

2. Метод Жюля Верна

При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который был описан в книге Жюль Верна «Таинственный остров».

С этой целью необходимо вбить в землю шест, лечь на землю так, чтобы было видно верхний конец шеста и верхушку измеряемого предмета. Измерить расстояние от шеста до предмета, измерить высоту шеста и расстояние от макушки человека до основания шеста.

Применяя метод Жуля Верна, выяснили, что расстояние от макушки ученика до школы равно 1226 см., высота шеста — 130 см. и расстояние от макушки ученика до шеста — 126 см (рисунок 2). Исходя из этого, выяснили, что высота школы равна 1265 см.

Рис. 2. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод Жюля Верна

 

3. Метод измерения с помощью зеркала (лужи)

Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляются лужи. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас. Вместо лужицы можно пользоваться положенным горизонтально зеркальцем.

Рис. 3. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью зеркала (лужи)

 

Применяя метод зеркала, получили, что расстояние от школы до зеркала равно 1280 см., высота ученика до уровня глаз равно 168 см., расстояние от ученика до зеркала равно 170 см (рисунок 3). Отсюда получаем, что высота школы равна 1264 см.

4. Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

Можно обойтись при измерении высоты и без тени, воспользовавшись свойством равнобедренного прямоугольного треугольника. Для этого требуется изготовить один простой прибор из дощечки и трех гвоздей:

1.               На доске любой формы намечают три точки — вершины равнобедренного прямоугольного треугольника;
2.               В эти вершины втыкается по гвоздику;
3.               К верхнему гвоздику привязывается ниточка с грузом.

Приближаясь к дереву или отдаляясь от него, найдите место, из которого, глядя на гвоздики, увидите верхушку дерева. При этом

Рис. 4. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

 

Используя демонстрационный школьный равнобедренный прямоугольный треугольник, получили следующие данные: расстояние от глаз ученика до стен школы — 1074 см., рост ученика до уровня глаз — 159 см (рисунок 4). Отсюда получаем, высоту школы — 1233 см.

5.               Метод измерения высоты с помощью фотографии

Для этого необходимо встать возле объекта, сфотографироваться, распечатать фото, измерить свой рост и высоту объекта на фотографии, и с помощью пропорции рассчитать реальную высоту объекта:

, где и  — размеры соответственно объекта и роста человека на готовой фотографии (рисунок 5).

Рис. 5. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения высоты с помощью фотографии

 

Используя метод фотографии, находим отношение высоты школы к росту человека — 1214 см.

6. Метод измерения с помощью воздушного шарика

Данный метод заключается в сравнении высоты объекта с длиной нити, привязанной к воздушному шарику, наполненному гелием.

Рис. 6. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью воздушного шарика

 

В результате этого эксперимента длина нити, привязанная к шарику, составила 1242 см (рисунок 6).

7.               Метод измерения с помощью карандаша

Данным способом пользуются скауты.

Рис. 7. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью карандаша

 

Построение прямоугольного треугольника на уровне глаз, одним из катетов которого является карандаш. При повороте карандаша на 90 градусов, один ученик совмещает грифель карандаша с подходящим к нему напарником до тех пор, пока грифель карандаша не совместиться с его макушкой и расстояние от школы до напарника и есть искомая высота школы (рисунок 7).

II.Статистическая обработка результатов экспериментов

В результате проведенной работы были получены следующие результаты (таблица 1).

 

Таблица 1

Сводная таблица результатов экспериментов

Метод	Результат
По инструкции	1236 см
Метод Фалеса	1204 см
Метод Жюля Верна	1265 см
Метод измерения с помощью зеркала (лужи)	1264 см
Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника	1233 см
Метод измерения высоты с помощью фотографии	1214 см
Метод измерения с помощью воздушного шарика	1242 см
Метод измерения с помощью карандаша	1410 см

 

Значения, полученные в ходе проведенных экспериментов, неизбежно носят приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся неточности, т. е. погрешности. Причина понятна, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точными измерениями и других входных данных, поэтому погрешности являются не устранимыми. В результате возникает вопрос: «Какой из реализованных способов дает наименьшую погрешность?».

Из курса физики мы знаем, что существуют абсолютная и относительная погрешности [2]. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

Относительной погрешность приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения. Данные приведены в таблице 2.

 

Таблица 2

Расчет абсолютной и относительной погрешностей

Метод	Экспериментальное значение, см.	Абсолютная погрешность, см.	Относительная погрешность, %
Метод Фалеса	1204	32	2,7
Метод Жюля Верна	1265	29	2,2
Метод измерения с помощью зеркала (лужи)	1264	28	2,2
Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника	1233	3	0,3
Метод измерения высоты с помощью фотографии	1214	22	1,8
Метод измерения с помощью воздушного шарика	1242	6	0,5
Метод измерения с помощью карандаша	1410	174	12,3

 

Исходя из полученных результатов, методы измерения высоты с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника и с помощью метода измерения воздушным шариком оказались наиболее точными. Методом с большим уровнем погрешности оказался метод измерения с помощью карандаша.

 

Литература:

 

1.               Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
2.               Сергеев И. Н., Олехникс. Н., Гашков С. Б. Примени математику. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 240 с.