При выполнении экономических расчётов и проектировании инженерных конструкций в отдельных случаях, в силу экономических и технических ограничений, возникает необходимость определения таких значений параметров, при которых некоторые характеристики достигали бы оптимальных, то есть наибольших или наименьших значений. При решении таких задач на экстремум функции одной переменной основной проблемой является составление целевой функции и удобный выбор независимой переменной.
Рассмотрим некоторые примеры решения прикладных задач с применением методов математического анализа.
Задача 1. Источник света расположен на прямой, соединяющей центры шаров с радиусами 
и 
. Определить положение источника, при котором площадь освещённой поверхности двух шаров является наибольшей.
Решение. Обозначим расстояние 
между центрами шаров через L. В качестве независимой переменной х выберем расстояние от центра 
большого шара до источника света К (рис. 1).
Рис. 1. Схема расположения шаров и источника света
Так как освещённые участки представляют собой поверхности шаровых секторов, то их общая площадь 
определится по формуле
, (1)
где
, 
высоты соответствующих шаровых сегментов.
Из подобия прямоугольных треугольников АМО1, О1АК и ВСО2, О2ВК для и имеем 
, где 
, 
. Окончательно,
, 
. (2)
С учётом (2), суммарная освещённая площадь 
, зависящая от положения источника света К на прямой , запишется в виде
. (3)
Для нахождения стационарных точек целевой функции 
, найдём её производную [1]
.
Приравняв производную нулю и, решив полученное уравнение, получим
. (4)
Дальнейшее исследование показало, что при переходе через стационарную точку 
производная меняет знак с плюса на минус, то есть найденное значение 
является точкой максимума функции 
.
Таким образом, освещённая площадь будет наибольшей, если источник света находится в точке, в которой отношение квадратов расстояний от источника до центров шаров равно отношению кубов их радиусов.
Задача 2. В различных государствах применяется прогрессивная система налогообложения, в которой сумма налога состоит из линейной части, пропорциональной доходу, и нелинейной части, зависящей от дохода по степенному закону. Итоговая величина налога
вычисляется по формуле
, (5)
где 
величина дохода; a, b и c постоянные коэффициенты;kпоказатель степени. Необходимо определить при каком уровне дохода налоговая ставка будет минимальной.
Решение. Налоговая ставка 
определяется по формуле 
. С учётом (5), получим
.(6)
Для исследования целевой функции на экстремум [2] найдём её производную
. (7)
Приравняв нулю производную, будем иметь
. (8)
Так как коэффициентыb и c положительны, то первое уравнение системы (8) не имеет решений. Из второго уравнения получим значение стационарной точки
. (9)
При переходе через это значение производная меняет знак с минуса на плюс, то есть в точке
функция достигает минимума. Следовательно, при уровне дохода 
налоговая ставка будет наименьшей.
Приведённые примеры показывают, что математика является не только универсальным языком науки, но и мощным средством решения прикладных задач.
Литература:
- Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Математика: учебник для ссузов. — 7 изд., стереотип. — М., 2010. — с. 395.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 и 11 классы. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2009. — с. 239.
