Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Сейчас они могут показаться не очень интересными, в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам. Но даже с помощью современных технических устройств, которые сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки, решение и особенно исследование в таких задачах развивают творчество и математическое мышление.
Цель нашей работы: научиться проводить исследование при решении задач на построение циркулем и линейкой. Для ее достижения мы выделили задачи:
- Изучить метод решения задач при помощи циркуля и линейки.
- Самостоятельно провести исследование при решении некоторых задач на построение, связанных с взаимным расположением прямых и окружностей.
- Изучить возможности компьютерной программы " GeoGebra " для геометрических построений.
При решении задач на построение выделяют следующие этапы: анализ, построение, доказательство, исследование.
Исследование — ответ на вопрос: всегда ли задача имеет решение, если да, то, сколько и есть ли частные случаи, требующие особого рассмотрения.
В школьном курсе геометрии рассматриваются в основном задачи, в которых главный этап — анализ и построение, мы же в данной работе рассмотрели этап — исследование.
В нашей работе представлено решение пяти задач на построение циркулем и линейкой, которые связаны с исследованием взаимного расположения окружностей и прямых. Задачи интересны тем, что этап исследования в этих задачах содержит несколько случаев.
Задача 1: Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.
Анализ: Центр окружности должен располагаться на перпендикуляре к прямой а, проходящем через заданную точку.
Построение выполнено с помощью программы GeoGebra:
Исследование: Данная задача имеет два решения.
Задача 2: Построить окружность, проходящую через данную точку А и касающуюся данной прямой в данной точке В.
Анализ: радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. Центр равноудалён от А и В, значит лежит на серединном перпендикуляре к АВ.
Исследование: В первом случае, когда точка А не принадлежит прямой а, одно решение.
Второй случай: Точка А принадлежит прямой а.
Решений нет, так как перпендикуляры к одной прямой не пересекаются.
Третий случай: Точки А и В совпадают.
Решений множество.
Задача 3: Построить окружность, касающуюся двух данных прямых, причем одной из них в данной точке.
Анализ: Центр окружности должен располагаться на перпендикуляре к прямой а, проведенному из точки В. Так как центр искомой окружности равноудален от прямых а и b, значит он расположен на биссектрисе угла образованного прямыми a и b.
Исследование: В первом случае, когда прямые пересеклись одно решение задачи.
Второй случай: Прямые параллельны.
В данном случае одно решение.
Задача 4: Построить окружность, которая проходила бы через данную точку и касалась бы данной окружности в данной точке.
Анализ: Центр искомой окружности лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Центр искомой окружности и центр данной окружности, и точка А располагается на одной прямой.
Исследование: В первом случаем, когда точка В располагается вне окружности, одно решение.
Второй случай: точки А и В лежат на одной окружности:
В данном случае решений нет, так как окружности должны иметь 2 общие точки, то есть касаться не смогут.
Третий случай: точка В внутри данной окружности.
В данном случае одно решение.
Задача 5: Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.
Анализ: Радиус концентрических окружностей будет равен r+r1 и r+r2.
Центр искомой окружности будет расположен на пересечении или касании концентрических окружностей.
Исследование: В первом случае, когда концентрические окружности пересеклись в двух точках — два решения.
Второй случай: концентрические окружности имеют одну общую точку.
В этом случае одно решение.
Третий случай: когда концентрические окружности не имеют общих точек.
В данном случае нет решений.
Четвертый случай: концентрические окружности касаются внутренним образом.
В данном случае одно решение.
Применение разработанных рекомендаций при решении задач на построение будет способствовать наиболее эффективному творческому поиску путей решения задач при изучении геометрии в курсе основной школы.
