Использование моделей многогранников для изучения возможностей реставрации и сохранения памятников архитектуры



Многообразие видов применения многогранников в жизни человека очень велико. Благодаря многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии, практическое использование полученных знаний во многих науках. Таких как геология и геодезия, биология и генетика, культурное развитие общества, архитектура и строительство. В ходе исследования автор заинтересовался проблемой сохранения памятников архитектуры, созданных человеком в далеком прошлом. Проблема сохранения для потомков необыкновенно красивых архитектурных сооружений стоит очень остро в современном мире.

Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма, в которую вписывается сооружение. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Первые архитектурные сооружения (пирамида Луны, конец первого тысячелетия до н. э. — начало н. э.; пирамида Тенаюка, XII — XV века; пирамида Кукулькана, VIII — XII века) строились из камней, кусков глины, дерева и влажного песка. Эти сооружения поражают гранями, основаниями, пересечением рёбер, углов. Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения.

Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров.

Страна	Архитектурные сооружения	Геометрические фигуры	Применение в современной архитектуре
Древний Египет	Мастаба Ступенчатая пирамида (фараона Джосера) Классич.пирамида Погребальные комплексы Храм богу Амону-Ра Обелиск	Усеченная пирамида Четырехугольная пирамида Параллелепипед Цилиндры	Пирамиды в Лувре, Франция, 20 в. Мавзолей Ленина, Россия 20 в. Высотные здания в Москве 20 в. Башни «Петронас» в Малайзии
Древняя Греция	Храм Ордера	Параллелепипед Призма Цилиндр Усеченный конус	Колоннада театров, дворцов, парковых ансамблей
Древний Рим	Триумфальные арки Триумфальные колонны Купол Амфитеатр (Колизей) Термы Арки Мосты	Параллелепипед Цилиндр Сфера	Триумфальные арки и колонны в Москве, Санкт — Петербурге Цирк Стадион Арочные мосты Сауны и бани
Средние века	Замки-крепости	Параллелепипед Пирамида Конус Усеченный конус Цилиндр	Дома-коттеджи Являются элементами жилых домов

В XII веке архитектура понималась уже как геометрия, имеющая практическое приложение. Усложнившаяся архитектурная практика готической эпохи требовала от архитекторов специальных математических знаний. Готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом, за счет высоты. В их формах широко использовались пирамиды и конусы, гармонично сочетались множественные объёмы многогранников, объединённых в единую пирамидальную композицию. Были воздвигнуты величественные и обширные готические храмы и соборы, архитектура которых поражает многообразием форм многогранников, где единство и логика пропорционального строя пронизывали все многообразие архитектурных элементов.

Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара и отражают особенности человеческой души. Тайные людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий.

Памятники архитектуры нуждаются в охране и защите от неблагоприятных природных явлений, стихий, неразумного поведения человека и времени. Обязательно нужно оставить, сохранить для потомков красивейшие сооружения архитектуры по всему миру. Для этого надо систематически отслеживать состояние памятников архитектуры, проводить их своевременную реставрацию, ремонт, проявлять заботу о том, что нас окружает. Проблема сохранения для потомков необыкновенно красивых архитектурных сооружений стоит очень остро в современном мире.

Использование компьютерных технологий, например, компьютерного моделирования проектирования, может помочь в решении этой проблемы. В ходе исследования автор применил систему автоматизированного проектирования «Компас 3-D» для создания компьютерных моделей архитектурных сооружений как композиции различных видов многогранников и их печать на 3-D принтере.

Для того, чтобы разработать алгоритм создания модели для дальнейшей 3D печати, необходимо выбрать модель, набор многогранников в модели, набор команд, инструментарий для обработки многогранников, размеры деталей, входящих в состав модели. В ходе исследования были разработаны алгоритмы для моделей дозорной башни Казанского кремля, Мавзолея Момине-хатун в Нахичеване, Александрийского маяка, гробницы Юсифа ибн Кусейира.

Например, так выглядит алгоритм создания модели «Дозорная башня» в САПР Компас 3D:

1. Команда создать, выбрать ДЕТАЛЬ . Выбрать плоскость, применить кнопку Эскиз .
2. Инструментальная панель Геометрия . Вызвать панель расширенных команд прямоугольник ивыбрать прямоугольник по центру и вершине.
3. Создать прямоугольник. Выйти из Эскиза .
4. Выбрать на инструментальной панели команду Операция выдавливания .
5. Выдавить прямоугольный параллелепипед.
6. Выбрать на инструментальной панели команду Операция выдавливания .
7. Выбрать наибольшую грань параллелепипеда, применить кнопку Эскиз .
8. Построить 2 равных прямоугольника с общей стороной (общая сторона должна быть большей в прямоугольниках), провести перпендикуляр из точки пересечения верхних сторон прямоугольника. (при помощи командыОтрезок).
9. Вызвать панель команд Дуга ивыбрать Дуга по 3 точкам, построить дугу.
10. Выбрать команду Усечь кривую, убрать все лишние элементы.Выйти из Эскиза.
11. Применить команду Вырезать выдавливанием через все.
12. Выбрать наибольшую грань параллелепипеда.
13. Создать прямоугольник по центру и вершине. Выйти из Эскиза.
14. Выбрать на инструментальной панели команду Операция выдавливания .
15. Выдавить прямоугольный параллелепипед.
16. Создать объект. Выбрать наибольшую грань созданного параллелепипеда.
17. Повторить все команды для построения второго параллелепипеда.
18. Выбрать наибольшую грань созданного параллелепипеда. Применить кнопку Эскиз .
19. Вызвать панель расширенных команд прямоугольник ивыбрать Многоугольник .
20. Выбрать 8 вершин. Построить многоугольник.Выйти из Эскиза.
21. Выбрать на инструментальной панели команду Операция выдавливания .
22. Создать Многоугольник.
23. Повторить все операции для данного многоугольника трижды.
24. Выбрать верхнюю грань последнего многоугольника.
25. Применить кнопку Эскиз . Построить окружность.
26. Применить команду Операция выдавливания, задав угол внутрь. Создать объект.

Аналогично описываются алгоритмы создания других фигур.

Проблема сохранения для потомков необыкновенно красивых архитектурных сооружений стоит очень остро в современном мире. Много памятников разрушено временем и невнимательным отношением к ним. Всем понятно, что для сооружений архитектуры прошлых столетий необходима бережная реставрация, постоянный уход и ремонт. Список культурного наследия ЮНЕСКО, список объектов архитектуры, объявленных памятниками культуры, пока еще достаточно велик. Но он требует внимания, контроля, любви и неравнодушия со стороны людей. Для проведения реставрации и ремонта надо точно знать очень много параметров реставрируемых объектов. Автором рассмотрена проблема расчета количества материала для улучшения состояния некоторых памятников архитектуры. На данном этапе образования возможно сделать такие расчеты. В дальнейшем при получении высшего образования автор надеется на то, что сможет оказать более квалифицированную помощь в решении этой проблемы.

Задача № 1

Сколько мраморных плит размером 1,5 м × 1,2 м необходимо для облицовки поверхности трех ярусов Александрийского маяка?

СПРАВКА: Сооружение на острове Форос, близ египетского г. Александрия. Одно из семи чудес света. Высота: 150 м. Дата постройки: 279 г. до н. э. (архитектор Сострат Книдский). Предназначен был для освещения гавани, имел 3 яруса. Разрушен. А его можно было спасти. И требовалось для этого внимание людей.

Решение:

Первый ярус — параллелепипед с квадратным основанием со стороной 30 м, высотой 60 м, второй — восьмигранник со стороной 16 м и высотой 40 м, третий — цилиндр диаметром 4,3 м и высотой 20 м.

S=S _{1 +} S ₂ +S ₃ Sплиты=1,5*1,2=1,8 м ²

S ₁ =4 a b S ₁ =4* 30*60=7200 м ² N ₁ =7200:1,8=4000 плит

S ₂ =Pосн*h S ₂ =8*16*40=5120 м ² N ₂ =5120:1,8=2844 плит

S ₃ =2πRh S ₃ =2* *2,15*20=270 м ² N ₃ =270:1,8=471 плит

N=4000 +2844+471=7315 плит. Ответ: 7315 плит понадобится.

Задача № 2

В ходе реставрационных работ необходимо заметить кирпичную кладку дозорной башни Казанского кремля. Сколько понадобиться кирпича размером 250 120, чтобы заменить кладку по периметру башни?

СПРАВКА: Смотровая башня Сююмбике в Казани построена в 1777 году (итал. зодчий Аристотель Фиораванти). Имеет семь ярусов, для ее строительства был использован красный кирпич. Общая высота башни 58 метров.

Является объектом культурного наследия ЮНЕСКО.

Решение:

Три нижних четырехгранника уменьшаются по высоте и ширине, на них установлено два восьмигранника. Завершает башню граненый шатер в виде усеченной пирамиды, а находящуюся над ним дозорную караульню украшает шпиль с позолоченным полумесяцем.

S=S1 +S2+S3 + S4 +S5+S6 + S7

Нижний ярус имеет размеры 27 м на 27 м и 16м в высоту и посередине арочный вход. S=2a*b+ S _{над аркой}

S ₁ =2*27*27+2*234=1929 м ² .

Второй и третий ярусы имеют форму параллелепипедов с размерами 5 23 м и 5 20 м. S=4 a b; S ₂ =4*5*23=460 м ² ; S ₃ =4*5*20=400 м ² .

Четвертый и пятый ярусы имеют форму правильных восьмигранников со сторонами основания 4 м и 3 м соответственно и высотой 6м.

S ₄ = S ₅ =Pосн*h S ₄ = 8*4*6=192 м ² S ₅ =8*3*6=144 м ² .

6й и 7й ярусы имеют форму усеченной пирамиды высотой 8м и 2м, L-апофема.

S ₆ =(8*2+8*1):2*8=96 м ² ; S ₇ = (8*1+8*0,5):2*2=12 м ²

Общая площадь S=3233 м ² ; S _{кирпича} =0,25*0,12=0,03 м ² .

Следовательно, N=3233:0,03=107766 штук кирпичей необходимо для реставрации.

Ответ: 107766 штук.

Задача № 3

Сколько литров побелки понадобится для обработки поверхности стен Мавзолея Момине-хатун в Нахичеване из расчета 0,5 л на 1м ² ?

СПРАВКА: Могила матери правителя Азербайджана. Построен в 1186году (зодчий Аджеми Нахчивани). Имеет форму восьмигранной пирамиды, высота равна 24,65 м и диаметр основания 12,8 м. Находится в городе Нахичевань. Входит в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.

Решение:

S =8*Pосн*h

Зная диаметр основания и угол восьмиугольника, находим сторону основания а ² =2*(6,4) ^2– 2*6,4*6,4*0,70=24. Отсюда, а=4,9 м.

Тогда S = 8*4,9*24,65 = 966,28 м ² .

Из расчета 0,5 л на м: 966,28: 0,5=1932,56 литров необходимо.

Ответ: 1932,56 л

Задача № 4

Какой объем занимает гробница Юсифа ибн Кусейира?

СПРАВКА: Усыпальница главы шейхов Азербайджана — это небольшое восьмигранное сооружение, возведено из хорошо обожжённого кирпича и завершено пирамидальным шатром. Возведено в 1161–62 годах (зодчий Аджеми Нахчивани). Находится в городе Нахичевань. Входит в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.

Решение:

Найдем объем восьмигранной призмы:

S _осн =43,5 м ² V _призмы =435 м ³

Тогда объем пирамидального шатра:

V=(43,5*10):3=101,5 м ³

Весь объем 536,5 м ³ .

Ответ: 536,5 м ³ .

Моделирование многогранников и решение с их помощью прикладных задач позволяют понять значение геометрии в жизни людей, увидеть разнообразие всевозможных видов применения многогранников, определиться с выбором профессии.

Литература:

1. Мир многогранников: http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm
2. История математики: http://mschool.kubsu.ru/
3. Библиотека электронных учебных пособий: http://www.ega-math.narod.ru/
4. Статьи по математике: http://dondublon.chat.ru/math.htm
5. Популярная математика: http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/index.htm
6. http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
7. http://im-possible.info/russian/programs/
8. https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
9. https://newtonew.com/science/impossible-objects
10. http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
11. http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
12. http://geometry-and-art.ru/unn.html