Теорема Стюарта и применение её для решения задач

 

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые из них заслуживают определённого внимания, так как обладают некоторой общностью и могут помочь в сложных заданиях ЕГЭ.

Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треугольника по заданным сторонам треугольника, являются частными случаями более общей формулы, которая является основой теоремы Стюарта (Мэтью Стюарт, шотландский астроном и математик, 1717–1785гг.).

Теорема Стюарта названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симпсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г. Она применяется для нахождения медиан и биссектрис треугольников.

Теорема Стюарта: три точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между А и С, тогда и только тогда, когда для любой точки плоскости М выполняется равенство

МА2 * ВС + МС2 * АВ — МВ2 * СА = АВ * ВС * СА

Или другая формулировка: Произведение квадрата расстояния от точки, лежащей на стороне треугольника, до противоположной вершины на длину этой стороны равно сумме квадратов оставшихся сторон на несмежные с ними отрезки первой стороны без произведения этих отрезков на длину основания.

AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD — BC*BD*CD

 

Дано: ΔABC, DЄBC

Доказать:AB²DCAC²BDAD²BCBC DCBD

Доказательство:

Рассмотрим ΔABC:

По теореме косинусов AC²AB²BC²2ABBCcosB,

откуда cosB.

Следовательно:

По свойству пропорции:

AB²BDBC²BDAC²BDAB²BCBD²BCAD²BC

Преобразуем данное выражение:

AB²BDBC²BDAB²BCBD²BCAC²BDAD²BC

AB² (BCBD) BCBD (BCBD) AC²BDAD²BC

Так как BCBD=DC, то

AB²DCBCBDDCAC²BDAD²BC

Умножим обе части на (-1) и выполним переносы из одной части в другую:

AB²DCAC²BDAD²BCBCDCBD

Теорема доказана. [8]

Полученное равенство словами можно сформулировать следующим образом:

Произведение квадрата одной стороны треугольника на не прилежащий к ней отрезок второй стороны плюс произведение квадрата третьей стороны на не прилежащий к ней отрезок второй стороны минус произведение квадрата внутреннего отрезка на вторую сторону, равняется произведению второй стороны на её отрезки, отсекаемые внутренним отрезком. [8]

Предлагаем самостоятельно доказать теорему Стюарта используя:

а)                  метод координат;

б)                 векторы;

в)                  используя формулы для площадей треугольников;

г)                  геометрический подход.

Применение теоремы Стюарта при доказательстве теорем стереометрии

Если прямая образует с двумя пересекающимися прямыми в точке их пересечения прямые углы, то она перпендикулярна ко всякой прямой, которая проходит в плоскости, содержащей эти две прямые, через точку их пересечения.

Доказательство этой теоремы, данное Евклидом, длинное и сложное. Более простое доказательство с помощью Т.Стюарта представил А.Лежанр. Посмотреть его можно в [2. с.98].

Применение теоремы Стюарта к вычислению длин некоторых линий треугольника [8]

Следствие 1: если отрезок AD — медиана треугольника АВС, тогда

Следствие 2: если отрезок AD –биссектриса внутреннего угла А треугольника АВС, р — полупериметр треугольника АВС, тогда

Следствие 3: если отрезок AD –биссектриса внешнего угла А треугольника АВС, р — полупериметр треугольника АВС, тогда

Примеры решения задач

1.                В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание, если медиана равна 3 см.

Дано: АВС-равнобедренный треугольник, АД-медиана к боковой стороне

АВ=ВС=4см, АД=3см

Найти: основание АС

Решение: применяя следствие из Т.Стюарта для медианы треугольника получаем

, подставляем данные .

Откуда АС=

Ответ. Основание равно .

2.                Медианы проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

Дано: АВС — прямоугольный треугольник (угол С=90°).

Медиана, проведенная из угла А ma= , а медиана из угла В mв= .

Найти: длину гипотенузы АВ.

Решение: Пусть катет напротив угла А ВС=2а (медиана делит его на равные отрезки, равные по а), а катет напротив угла В АС=2в (медиана делит его на равные отрезки, равные по в). Длина гипотенузы равна с. Применяем дважды Т.Стюарта для каждой медианы:

и .

По Т.Пифагора для треугольника АВС получаем: .

Записываем три уравнения в систему и решаем её. Получаем, что АВ=10.

Ответ. Гипотенуза равна 10.

3.                В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен 15 см, радиус вписанной окружности — 6 см. Найдите стороны треугольника.

Дано: АВС — прямоугольный треугольник (угол С=90°). R=15см, r =6см.

Найти: стороны треугольника АВС.

Решение: Так как АВС — прямоугольный треугольник, то гипотенуза АВ=2R, значит АВ=30см.

Обозначим стороны АС=в, ВС=а, АВ=с.

1)                 В прямоугольном треугольнике для радиуса вписанной окружности справедливо равенство:

Так как r = 6см, а = 30 см, следовательно а+в = 42 (1)

2)                 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы (по свойствам прямоугольного треугольника). А по следствию из Т.Стюарта СО — медиана треугольника АВС равна . Так как СО = 15см, а=30см, следовательно

= 900 (2)

3)                 Записываем уравнения (1) и (2) в систему:

. Решив её получаем а=24, в=18 или а=18, в=24.

Ответ. Стороны треугольника 18см, 24см, 30см.

4.                В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании.

Дано: АВС — равнобедренный треугольник (АВ = ВС), АА1 — биссектриса угла А.

АВ = ВС =20см, АС=5см.

Найти: длину биссектрисы АА1.

Решение: по следствию из Т. Стюарта , гдер — полупериметр. р = (20+20+5)/2 = 22,5. Тогда АА1 = 30см.

Ответ. Биссектриса угла при основании равна 30 см.

5.                Основание треугольника равно 20см, медианы боковых сторон равны 18 и 24см. Найти площадь треугольника.

Дано: АВС — треугольник (ВС — основание). ВВ1, СС1 — медианы.

ВВ1=18см, СС1=24см.

Найти: площадь треугольника АВС.

Решение:

1.                по следствию из Т. Стюарта

или (1).

Аналогично или (2).

Из уравнений (1) и (2) составляем систему:

Решая её получаем ,

2.                Найдем площадь треугольника по формуле Герона , гдер — полупериметр. . Тогда

= … =

= 4*см2

Ответ. Площадь треугольника 4*см2.

6.                Две стороны треугольника равны соответственно 6см и 8см. Известно, что медианы, проведенные к этим сторонам перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.

Дано: АВС — треугольник. ВВ1, СС1 — медианы. ВВ1 ┴ СС1, АВ=6см, АС=8см.

Найти: длину стороны ВС.

Решение: 1) Пусть медианы пересекаются в точке О. Тогда ОВ1=х см, ВО=2х см, ОС1=у см, СО=2у см. Треугольник ОВС — прямоугольный, тогда по Т. Пифагора 4х2+4у2=ВС2(1).

2) Применяем следствие из Т. Стюарта для медианы:

или или 36х2=8+2ВС2(2);

илиили 36у2=92+2ВС2(3).

Из уравнений (1), (2) и (3) составляем систему и, решив её, получаем, что ВС=2.

Ответ. Длина третьей стороны равна 2.

7.                Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна трем четвертям суммы квадратов его сторон.

Дано: АВС — треугольник. АА1, ВВ1, СС1 — медианы.

Доказать: АА12 + ВВ12 + СС12 = (АВ2 + ВС2 + АС2).

Доказательство: Применяем следствие из Т. Стюарта для медианы:

или ;

или ;

или .

Тогда после сложения получаем:

АА12 + ВВ12 + СС12 = =

=(АВ2 + ВС2 + АС2).

8.                В треугольнике ABC сторона AB равна 21, биссектриса BD равна 8, а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника ABC.

Дано: АВС — треугольник. BD — биссектриса, АВ=21, BD =8, DC=8.

Найти: периметр треугольника ABС.

Решение: Пусть AD=х; BC=a.

По теореме Стюарта AB2DC+BC2ADBD2AC=ADDC∙AC.

Тогда

212∙8+a2∙х−2∙(8+х) =8х(8+х)

По свойству биссектрисы имеем: , откуда а =

212∙8+()2∙х−2∙(8+х) =8х(8+х)

Разделим обе части уравнения на 8 и умножим на х, получим:

441х+3528−56х2−448х=х3+8х2, х3+64х2+7х−3528=0, (х−7)(х2+71х+504)=0

х−7=0 или х2+71х+504=0

х1=7 D=5041−2016=3025; =55

х2 ==−63 не удовлетворяет условию задачи

х3=8 не удовлетворяет условию задачи

а =24

                      P = AC+BC+AB=15+24+21=60

                      Ответ. Периметр треугольника равен 60.

9.                В треугольнике КРМ стороны КР=5, РМ=, а медиана РО=3. Найдите площадь треугольника КРМ.

Дано: КРМ — треугольник. РО — медиана. КР=5, РМ=, РО=3.

Найти: площадь треугольника КРМ.

Решение: 1) Применяем следствие из Т. Стюарта для медианы

Откуда КМ=2.

Применяя формулу Герона получаем что S=3.

Ответ. Площадь треугольника равна 3.

10.            Сторона AB треугольника ABC равна 3, BC2AC, Eточка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE=1. Найти сторону AC.

Решение задачи представлено на [8]

11.            Найти периметр прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как 3:4, а длина биссектрисы прямого угла равна 24.

Решение задачи представлено в [6].

12.            В треугольнике ABC стороны АВ=18см и АС=15см, а биссектриса АЕ=4см. Найдите периметр треугольника АВС.

Дано: АВС — треугольник АЕ — биссектриса угла А.

АВ =18см, АС=15см.

Найти: периметр треугольника АВС.

Решение: по следствию из Т. Стюарта , гдер — полупериметр. Тогда . Откуда ВС = 11см. Тогда P = AC+BC+AB=15+18+11=44(см)

Ответ. Периметр треугольника равен 44см.

13.            Площадь треугольника ABC равна 20. Стороны АВ=8 и АС=14. Найти медиану ВМ треугольника АВС.

Дано: АВС — треугольник ВМ — медиана.

АВ =8, АС=14, .

Найти: длину медиану ВМ.

Решение: Пусть ВС=х, применяя формулу Герона получаем что . Откуда получаем 2 случая:

1)                 ВС =.

По следствию из Т.Стюарта: . Подставляя и преобразовывая получим, что ВМ= .

2)                 ВС =.

По следствию из Т.Стюарта: . Подставляя и преобразовывая получим, что ВМ= 5.

Ответ. Медиана ВМ треугольника равна или 5.

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения

1.                Биссектриса AL1 пересекает вписанную в треугольник ABC окружность в точках Е и Т. Какой из отрезков больше: АЕ или ТL1?
2.                Докажите, что если биссектрисы треугольник ABC точкой J делятся в одном отношении, то треугольник ABC -равносторонний.
3.                Сторона ВС треугольника ABC есть среднее арифметическое сторон АВ и АС. Докажите, что прямая МJ (точка М — центр тяжести треугольника, J — точка пересечения биссектрис) параллельна стороне ВС.
4.                Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.
   5.                В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины равна 12см, а основание относится к боковой стороне как 4: 3. Найдите радиус вписанной окружности.
   6.                В треугольнике АВС медиана АМ равна среднему пропорциональному двух его сторон АС = b, АВ = с, т. е. АМ = .Докажите, что .

Вывод:Теорема Стюарта расширяет возможности решения задач по нахождению элементов треугольника, даёт возможность творчества при решении задач, учит видеть и находить связь между элементами треугольника.

 

Литература:

 

1.                Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сборник статей. Под редакцией П. В. Стратилатова. Москва — 1955.
2.                Г. И. Глейзер. История математики в школе. 9–10 класс. Москва «Просвещение». 1983 Московский государственный университет им. Ломоносова. Математика.
3.                И. Н. Сергеев, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, Задачи вступительных экзаменов (1993–1997). Москва 1998.
4.                О. П. Зеленяк, Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Киев, Москва, ДМК, Пресс, 2008
5.                П. С. Моденов, Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения, Москва «Книга по требованию».
6.                Н. Рыбкина «Сборник задач по геометрии для 6–9 классов средней школы», часть I, Планиметрия, «Просвещение», 1964.
7.                http://www.problems.ru
8.                Л. С. Атанасян и др, Геометрия: Доп.главы к шк.учеб.9кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч..математики. М.: Просвещение, 1997.