Методы и приемы решения практических задач



Решение практических задач — это целая система последовательных действий. Но существуют различные приёмы, которые помогут значительно упростить само решение и не запутаться при подсчётах.

Начнём с самых распространённых задач — задач на проценты. В них важна строгая последовательность. Я хочу представить способ, который точно поможет при решении.

Пример задачи: Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 5 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей?

Решение:

Вначале вспомним, как максимально сократить запись о начислении процентов на сумму х.

= *= 1,2*х

Чтобы не запутаться в процентах, нарисуем схему, где каждая вертикальная черта — начисление процентов, а каждая стрелка — выплата очередного платежа. Первый год по условию семья не делает выплат.

После последнего платежа мы должны выйти в ноль.

Преобразуем схему, добавив в неё числа.

Получаем уравнение

(((1,2*х+810000) *1,2–810000)*1,2–810000)*1,2–810000=0

2,0736*х-1399680–1166400–972000=810000

После проведения всех подсчётов получаем:

х=2’096’875руб. — сумма, которую может выдать банк семье Ивановых.

Следующие задачи, которые требуют особого внимания при подсчётах — задачи на доли и соотношения.

Пример задачи: Руководитель компании А решил распределить премиальный фонд за январь между тремя сотрудниками в соотношении 8:5:4, но в итоге распределил тот же самый фонд в соотношении 7:7:6 между теми же сотрудниками. В результате третий сотрудник получил на 22000 рублей больше, чем получил бы согласно первоначальным условиям. Определите сумму фонда за месяц (в рублях).

Решение:

Применим формулу, чтобы записать для одного из сотрудников его часть по отношению к остальным: , где

— соотношение частей

A — некоторая целая величина (в нашем случае это сумма фонда), которая делится в соотношении

Пусть х — сумма фонда за месяц, тогда:

= — должен был получить третий сотрудник

= — получил третий сотрудник.

Составим уравнение для разницы, т. к. по условию она составляет 22000 руб.

= 22000 или = 22000 или = 3740000, тогда

х=340 000 (руб) — сумма фонда.

Следующий вид задач — задачи на время. Основа решения заданий данного типа является в том, что время одного объекта необходимо выразить относительно времени другого объекта.

Пример задачи: Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут — мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту все трое находятся на одном расстоянии от пункта В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?

Решение:

I способ — составление системы, выражение величин из одного уравнения и подстановка их в другое уравнение. Это достаточно громоздкий вариант решения, который занимает много времени. Я не считаю нужным рассматривать его.

II способ

Обозначим место встречи пешехода, велосипедиста и мотоциклиста за пункт С, а расстояние, пройденное ими от А до С за 1. Тогда:

Т. к. по условию из С в В пешеход прибыл позднее мотоциклиста на один час, можно составить уравнение:

(t +150)*k-t*k=60 k==.

Тогда пешеход провёл в пути больше времени, чем велосипедист:

(150*k+k*t)-(30*k+ k*t)=120*k или 120*= 48(мин)

Будем рассматривать график не с точки зрения скоростей, а с токи зрения геометрических фигур.

Пусть A||B||C, тогда

высоты треугольников DQE и DQF, проведённые из вершины Q, равны

и высоты треугольников RQT и SQT, проведённые из вершины Q, равны.

Треугольник так относится к треугольнику, как треугольник к треугольнику, т. к. отношения высот этих пар треугольников равны коэффициенту подобияn. Из этого следует

== n150*х=720  х=48(мин)

Как отличить задачи, в которых данный метод применим? Как было сказано раньше, главный ключ к решению задач про время — выражение времени одного объекта относительно времени другого. В нашем случае это значит, что все три прямые должны пересечься в одной точке. Но не все задачи подходят под это условие.

Пример задачи: Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Третья свеча была зажжена на час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая свеча и третья свечи стали одинаковой длины, а через 2 часа после этого одинаковой длины стали третья и вторая свечи. За сколько часов сгорает третья свеча, если вторая сгорает за 6 ч, а первая — за 4 ч?

Решение:

Построив график, мы увидели, что пересечения всех линий в одной точке нет. Это значит, что выразить участок одной прямой относительно двух других прямых будет проблематично.

Перейдём к методу с таблицей. Будем выражать время, когда свечи становятся одинаковой длины.

	Время полного сгорания	I и III одинаковой длины	II и III одинаковой длины
I свеча	4	t
II свеча	6		t+2
III свеча	х	t+1	t+3

Из таблицы можно составить следующую систему:

Из второго уравнения выражаем х:

х =

Подставляем в первое уравнение и находим t:

4t+4+=6*t+18 |*t

4*+4*t+8*t+8=6*+18*t

2*+6*t-8=0

t=1

Подставляем значение в x =

Получаем x = =8(ч) — время сгорания третьей свечи.

Таким образом, мы рассмотрели несколько приёмов, которые помогут сократить и упростить решение практических задач, сократят время при подсчётах. Мы также научились оценивать текст задач и подбирать тип решения.

Литература:

1. Математика ЕГЭ задачи с экономическим содержанием Учебно-методическое пособие ЛЕГИОН Ростов-на-Дону 2015 Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
2. https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=232
3. http://alexlarin.net/