Статья посвящена рассмотрению основных свойств фигур постоянной ширины, систематизации знаний о них и использованию этих фигур в повседневной жизни.
Ключевые слова: фигуры постоянной ширины, треугольник Рёло, выпуклая фигура, замкнутая прямая.
Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей.
Рене Декарт
В современном мире развивающихся технологий невозможно обойти стороной фигуры постоянной ширины. Они занимают значительное место в науке и прикладной деятельности. Фигуры постоянной ширины позволяют сократить затраты в производстве, они используются не только в механике, но и в музыке, архитектуре. Существует мнение, что круг является единственной выпуклой фигурой, у которой ширина в любом направлении одна и та же и равна диаметру круга. А так ли это на самом деле? Существуют ли еще фигуры постоянной ширины?
Свойствами выпуклых фигур постоянной ширины занимались многие учёные: Леонардо да Винчи, Леонард Эйлер, немецкий механик Франц Рёло, Гаролд Эгглстон, Эвас Харелл и другие математики [2, с.78].
В своей работе мы поставили следующие проблемные вопросы: возможно ли, что круг является не единственной фигурой постоянной ширины? Будет ли любая геометрическая фигура фигурой постоянной ширины? Можно ли с помощью треугольника высверлить квадратное отверстие? Можно ли ездить на треугольных колесах?
Практическая значимость — это создание сайта о фигурах постоянной ширины и изготовление шкатулки в форме треугольника Рёло.
В повседневной жизни нередко возникает необходимость перевезти с места на место тяжелый предмет. Пользоваться при этом тележкой не всегда удобно. В таких случаях тяжелый предмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. По мере продвижения платформы освободившиеся задние катки заносят вперед и укладывают перед ней. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет при движении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальных перемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеют форму круга, а граница круга — окружность — принадлежит к числу замкнутых кривых, обладающих важным свойством — «постоянной шириной». Именно потому, что окружность имеет одинаковую ширину по всем направлениям, ее можно вращать между двумя параллельными прямыми, не изменяя расстояния между ними. Фигуры постоянной ширины можно еще определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата одновременно касаясь всех его сторон.
Существуют ли другие замкнутые кривые постоянной ширины, помимо окружности и круга? Кривых постоянной ширины бесконечно много. Любая из них может служить поперечным сечением катка, по которому платформа будет катиться так же ровно, как и по цилиндру.
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. Он был назван в честь математика и инженера Франца Рёло. Если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то расстояние между ними не будет зависеть от выбранного направления. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло. Как бы мы его ни вращали, ширина этой фигуры будет оставаться постоянной величиной. По той же схеме, что и для треугольника, фигура постоянной ширины строится на любом правильном n-угольнике, имеющем нечётное число вершин. Можно построить и несимметричные фигуры постоянной ширины. Фигур постоянной ширины бесконечно много. Это могут быть несимметричные фигуры и симметричные фигуры, построенные на основе правильного треугольника и правильных многоугольников.
Благодаря своим геометрическим свойствам фигуры постоянной ширины находят применение в различных областях. Творчество Рёло оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов, так в 1914 году шотландский инженер и изобретатель, Гарри Джеймс Уаттс, изобрёл уникальный инструмент для высверливания квадратных отверстий. Это сверло выполнено в форме треугольника Рёло и носит название сверло Уаттса. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон». Разница площади треугольника и квадрата составляет около 1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла, позволяющие получить почти квадратные отверстия. Треугольник Рёло получил распространение и в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля.
В современном мире изобретатели также прибегают к помощи треугольника Рёло претворяя в жизнь свои замыслы. Иногда говорят, не нужно изобретать велосипед, называя изобретение велосипеда бессмысленным повторением и открытием давно пройденного и известного, и совершенно напрасно. Китайский офицер Гуан Байхуа создал необычный велосипед: вместо понятных всем круглых он предложил кататься на колесах треугольной формы сзади и пятиугольной спереди. По словам изобретателя, поездка на нем требует больше усилий, чем на обычном велосипеде, и скорее всего, он найдет свою нишу в качестве эффективного тренажера. Впрочем, все, кто пробовал прокатиться на нем, удивляются вовсе не трудности кручения педалей, а неожиданной плавности хода. Действительно, казалось бы, угловатые колеса неизбежно должны создавать при качении существенную тряску — но ее Гуаню Байхуа удалось снизить благодаря прекрасному знанию геометрии. Ведь колеса по форме являются фигурами постоянной ширины, иначе называемыми «многоугольниками Рёло». Контур таких фигур представляет собой плоскую выпуклую кривую, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно «ширине» кривой.
Таким образом, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня. Однако теоретическое и практическое изучение этой фигуры продолжается по сей день. И это правильно, ведь чем лучше будут изучены свойства треугольника Рёло и остальных фигур постоянной ширины, тем больше будет открываться возможностей для их использования в нашей жизни.
В ходе работы совместно с руководителем было принято решение сделать шкатулку в форме треугольника Рело. Для создания изделия — шкатулка в форме треугольника Рело были использованы специализированные программы: Freecad, Match 3, фрезерный станок, фанера толщиной 8 мм. С помощью программы Freecad были созданы 3D модели деталей, необходимые для создания изделия. Затем в этой же программе был сгенерирован код для передачи его в программу Match 3, которая непосредственно управляет фрезерным станком. Данный код является пошаговой инструкцией для передвижения и координации фрезы.
Фанера — это многослойный волокнистый материал, сложный в обработке, поэтому для прохождения всей глубины материала фрезой, требуется несколько циклов. Для того чтобы были видны все шаги фрезы по контурам деталей, использовался пылесос для удаления излишней стружки. После выполнения всех операций станок остановился и занял исходное положение, что позволило нам безопасно извлечь детали. Затем все детали были собраны и склеены между собой клеем ПВА. Для сборки и совмещения деталей были выполнены дополнительные отверстия диаметром 4 мм, в которые были вставлены винты, после детали были склеены и сжаты между собой при помощи гаек. Для изготовления крышки были вырезаны и склеены детали круг и треугольник Рёло.
Подробнее познакомиться с фигурами постоянной ширины можно на нашем сайте, который был создан на платформе google. На сайте любой интересующийся человек может найти ответы на ряд вопросов познавательного характера о фигурах постоянной ширины, получить информацию о сферах применения «круглого» треугольника и узнать интересные факты, а также посмотреть видео по созданию шкатулки в форме треугольника Рёло.
Литература:
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. Организаций/ [Л. С. Атанасян и др.]. — 13-е изд., стер. — М.: Просвещение, 2022. — 383с.
- Никольский С. М. Математика: школьная энциклопедия. М.: Большая Российская Энциклопедия, 2005
- Сычева Г. Н. Математика в таблицах: 1–4 классы / Г. Н. Сычева. — Ростов н/Д.: Феникс, 2011. — с.51–218с.
- https://www.nkj.ru/archive/articles/27319/?ysclid=ldgfxzrioc971432927
- http://aurahome.ru/gard5.html
- https://ru.wikibrief.org/wiki/Curve_of_constant_width
- https://mathembox.xyz/2020/01/07/tregolnik-rjolo/?ysclid=ldggg61mfw45345556
- https://pikabu.ru/story/figuryi_postoyannoy_shirinyi__lektsii_po_matematike__matematik_nikolay_andreev__nauchpop_9792848?ysclid=ldggfd76nv776317027
- https://diary.ru/~eek/p190431498.htm?oam&ysclid=ldga5e0xd10492666
- https://sites.google.com/view/figure-post
