Геометрию издавна причисляли к семи свободным искусствам, входившим в состав тривиума (грамматика, риторика и диалектика) и квадривиума (арифметика, геометрия, астрономия и музыка). Краткое изложение этих искусств содержит книга, написанная в VI веке великим Кассиодором как своего рода свод элементарных сведений, необходимых, по его мнению, монахам для понимания Библии. Эпоха Возрождения стала свидетелем небывалого расцвета квадривиума. Геометрия представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой.
Данная статья подготовлена на основе выполненного проекта и представляет анализ применения таких ключевых понятий теории перспективы как эквидистантные трансверсали и точка схода на примере творчества Альбрехта Дюрера как представителя начала эпохи Возрождения.
Еще в XIV в. многих художников привлекла идея рассматривать картину как своего рода окно, сквозь которое зритель видит ту или иную часть мира. Нарисовать наблюдаемые объекты совсем нетрудно. По мере удаления от зрителя размеры предметов уменьшаются, а параллельные края пола или потолка сходятся к дальнему концу комнаты, когда вы смотрите на них. В частности, прямые, перпендикулярные плоскости картины (и называемые перпендикулярами) и лежащие в одной плоскости выглядят так, будто все они проходят через одну и ту же точку, лежащую на горизонте. Значительный прогресс был достигнут в начале 15-го века, когда ребра куба, не перпендикулярные плоскости картины, были изображены сходящимися к двум точкам на горизонте, называемом в теории перспективы линией схода. К середине века пришли к тому, что все перпендикуляры, а не только перпендикуляры, лежащие в одной и той же плоскости, следует рисовать сходящимися в одну точку, именуемую точкой схода. Знание одной лишь этой точки достаточно для установления горизонта, представляющего собой не что иное, как горизонтальную линию, проходящую на картине через эту точку.
Несколько раньше художников занимала проблема изображения эквидистантных трансверсалей. Рассматриваются два семейства линий — линии, параллельные плоскости, и линии, представляющие равноотстоящие перпендикуляры [1].
Было найдено правильное и остроумное решение проблемы. Рассмотрим квадрат ABCD, показанный на рис. 1. Это вид сверху на плоскость, разделенную на одинаковые квадратики. Прямые ВС и AD перпендикулярны плоскости картины. Эквидистантные трансверсали пересекают сторону ВС квадрата ABCD в точках Р, Q и R.
Рис. 1. Семейство эквидистантных трансверсалей
На картине все перпендикуляры будут пересекаться в одной точке (обозначим ее U), а трансверсали останутся параллельными стороне АВ, которую можно считать неизменной (рис. 2).
Рис. 2. Построение эквидистантных трансверсалей
Заметим, что каждый из 16 квадратиков, на которые разделен квадрат ABCD, имеет по две диагонали. Диагонали всех квадратиков можно разбить на два семейства так, что все диагонали, входящие в одно семейство, параллельны. Если через точку U провести прямую v, параллельную отрезку АВ, то прямая v будет линией горизонта, и семейство диагоналей, параллельных прямой FQ, изобразится на картине в виде семейства прямых, проходящих через точку W на линии горизонта v. Этого достаточно для того, чтобы построить изображения всех трансверсалей.
Чтобы найти изображение трансверсали, проходящей через точку Q, проведем прямую FW. Пересечение этой прямой с прямой ВU даст нам точку Q'. Проведя через Q' прямую параллельно АВ, получим изображение трансверсали, проходящей через Q. Если чертеж построен правильно и точка U лежит на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка АВ, то можно проверить, что одно семейство диагоналей на чертеже проходит через точку W, а другое — через точку на прямой v, отстоящую на такое же расстояние от точки U, как и точка W.
Данные рассуждения — основа теории перспективы, которая достигает у Дюрера своего рода кульминации. Эта теория — отнюдь не чисто техническая дисциплина, которой навсегда отведена сугубо вспомогательная роль в живописи и архитектуре, а важный раздел математики, не утративший способности к развитию. И действительно, теория перспективы со временем развилась в проективную геометрию [2]. Не следует никогда забывать о том, что теория перспективы — это наука о видении одним глазом. Но стоит лишь задуматься над тем, что же мы видим двумя глазами, как перед нами открывается обширная область, и поныне усердно возделываемая физиологами, физиками и философами. Но вернемся к «одноглазой» (монокулярной) перспективе.
Предположим, что в большой квадрат ABCD в плоскости вписана окружность, касающаяся каждой из четырех его сторон (рис. 3).
Рис. 3. Изображение на плоскости окружности, вписанной в квадрат
Изображение вписанной окружности на картине не будет иметь форму окружности, оно представляет некоторый эллипс [3]. Этот эллипс касается четырех сторон фигуры ABC'D' (рис. 4). Покажем, как построить 12 точек эллипса, позволяющих получить достаточно точное представление о том, как он выглядит.
Рис. 4. Построение в перспективе окружности, вписанной в квадрат
Точка О — центр исходной окружности переходит в точку О' пересечения диагоналей АС' и BD', не совпадающую с центром эллипса. Прямая AС' проходит через точку схода W на линии горизонта v, а прямая BD' проходит через точку схода Z, также принадлежащую v. Все прямые, параллельные на исходной фигуре прямой АС, переходят на перспективном рисунке в прямые, проходящие через точку W, а всем прямым, параллельным на исходной фигуре прямой BD, на рисунке соответствуют прямые, проходящие через точку Z. Эллипс касается стороны АВ в точке Е, а стороны С'D' — в точке, в которой прямая UE пересекает сторону C'D'. Если через точку О' провести прямую, параллельную АВ, до пересечения со стороной ВС' в точке F' и со стороной AD' в точке Н', то тем самым мы получим недостающие точки F' и Н' касания эллипса со сторонами ВС' и AD'. Чтобы построить остальные точки эллипса, рассмотрим точку Р пересечения прямой IK с окружностью. Проведем через точку Р прямую, параллельную диаметру BD окружности и пересекающую сторону АВ в точке X. Тогда точка Q, в которой эта прямая пересекается с прямой LM, также принадлежит окружности. Чтобы найти точки Р' и Q' на перспективном рисунке, заметим, что точка X, лежащая па стороне АВ, остается неподвижной, поэтому отрезок АХ можно перенести на рисунок и тем самым построить точку X. Соединим теперь точки X и Z, ибо прямая PQ параллельна диагонали BD. Р' — точка пересечения прямой ZX с прямой I'К' и Q' — точка пересечения прямой ZX с прямой UM' = UM. Аналогичным образом можно найти и другие пары точек эллипса, и, следовательно, построить весьма точный набросок перспективного изображения окружности.
В действительности строится сечение конуса, которое получится, если соединить наш глаз со всеми точками окружности.
Заключение. Ключевыми понятиями теории перспективы, достигшей кульминации в творчестве Альбрехта Дюрера, являются понятия эквидистантных трансверсалей и точка схода. Сама теория перспективы — это наука о видении одним глазом. Именно идеи Альбрехта Дюрера заложили основные принципы изобразительного искусства эпохи Возрождения. Со временем теория перспективы получила развитие в проективной геометрии.
Литература:
1. Д. Пидоу. Геометрия в искусстве. –М., Мир, 1979, 332с.
2. Раушенбах Б. В. Перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы. –М., Наука, 1986, 256с.
3. Перспектива. Основные понятия (электронный ресурс). URL: www.artistic-room.blogspot.com (дата обращения 20.06.2016).
